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Forum "Zahlentheorie" - Primfaktorzerlegung
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Primfaktorzerlegung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Di 30.08.2011
Autor: can19

Aufgabe
Bestimme die Primfakorzerlegung  von 15 in verschiedenen Ringen

a) in [mm] \IZ [/mm]
b) in [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm]
c) Bestimme in [mm] \IZ[\wurzel{11}] [/mm] die Zerlegung des Hauptideals (15) in Primideale.

Meine Lösung:

a) 15=3*5

b) Ich habe nachgerechnet, dass sowohl 3 als auch 5 in [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] prim sind.
Damit ist auch hier
15=3*5

c) Hier habe ich nachgerechnet, dass 3 in [mm] \IZ[\wurzel{11}] [/mm] prim ist.
5 muss hingegen zerlegt werden wie folgt:
[mm] \IZ[X]/(5,X^{2}-11)=(\IZ/5\IZ)[X]/(X^{2}-11)=\IF_{5}/[X^{2}-11] [/mm]

[mm] X^{2}-11=(x+4)(x-4) [/mm] in [mm] \IZ/5 [/mm]     (hier war ich mir aber etwas unsicher)

damit habe ich als Endergebnis:
[mm] (15)=3*(5,4+\wurzel{11}) (5,4-\wurzel{11}) [/mm]

kann das sein?
wäre für jeden hinweis dankbar!

lg
        
Bezug
Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mi 31.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> Bestimme die Primfakorzerlegung  von 15 in verschiedenen
> Ringen
>  
> a) in [mm]\IZ[/mm]
>  b) in [mm]\IZ[\wurzel{-2}][/mm]
>  c) Bestimme in [mm]\IZ[\wurzel{11}][/mm] die Zerlegung des
> Hauptideals (15) in Primideale.
>  Meine Lösung:
>  
> a) 15=3*5

[ok]

> b) Ich habe nachgerechnet, dass sowohl 3 als auch 5 in
> [mm]\IZ[\wurzel{-2}][/mm] prim sind.
>  Damit ist auch hier
>  15=3*5

5 bleibt prim, 3 allerdings nicht.

> c) Hier habe ich nachgerechnet, dass 3 in [mm]\IZ[\wurzel{11}][/mm]
> prim ist.
>  5 muss hingegen zerlegt werden wie folgt:
>  
> [mm]\IZ[X]/(5,X^{2}-11)=(\IZ/5\IZ)[X]/(X^{2}-11)=\IF_{5}/[X^{2}-11][/mm]
>  
> [mm]X^{2}-11=(x+4)(x-4)[/mm] in [mm]\IZ/5[/mm]     (hier war ich mir aber
> etwas unsicher)
>  
> damit habe ich als Endergebnis:
>  [mm](15)=3*(5,4+\wurzel{11}) (5,4-\wurzel{11})[/mm]
>  
> kann das sein?

Ja, das stimmt.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Primfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mi 31.08.2011
Autor: can19

danke dir felix..

könntest du mir vielleicht sagen wie du auf 3 prim in [mm] \wurzel{-2} [/mm] kommst ?
nach meiner Rechnung:
[mm] \Delta _\IQ_{(\wurzel{-2})}=8 [/mm]
da gilt:
[mm] \Delta_\IQ_{(\wurzel{-2})}= [/mm] 4d falls [mm] d\equiv [/mm] 2,3 mod 4 ist

und dann weiter mit dem Legendre-Symbol:
[mm] (\bruch{8}{3})=-1 [/mm] --> 3 ist träge , bleibt prim

oder was mache ich falsch??

lg
Bezug
                        
Bezug
Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 31.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> könntest du mir vielleicht sagen wie du auf 3 prim in
> [mm]\wurzel{-2}[/mm] kommst ?

Ich hab MAGMA gefragt ;-)

>  nach meiner Rechnung:
>  [mm]\Delta _\IQ_{(\wurzel{-2})}=8[/mm]
>  da gilt:
>  [mm]\Delta_\IQ_{(\wurzel{-2})}=[/mm] 4d falls [mm]d\equiv[/mm] 2,3 mod 4
> ist

Da $d = -4$ ist, ist die Diskriminante gleich $-8$ und nicht $+8$.

> und dann weiter mit dem Legendre-Symbol:
>  [mm](\bruch{8}{3})=-1[/mm] --> 3 ist träge , bleibt prim

Da [mm] $(\tfrac{-8}{3}) [/mm] = +1$ ist passt es wieder ;-)

(Es gilt uebrigens [mm] $(\frac{8}{5}) [/mm] = [mm] (\frac{-8}{5}) [/mm] = -1$, bei der 5 aendert sich also nichts.)

LG Felix

Bezug
                                
Bezug
Primfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mi 31.08.2011
Autor: can19

hey super danke :)

ok dann habe ich als Endergebnis für b) da stehen

[mm] (15)=5*(3,2+\wurzel{-2})(3,2-\wurzel{-2}) [/mm]

kann das sein?

lg
Bezug
                                        
Bezug
Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mi 31.08.2011
Autor: felixf

Moin,

> ok dann habe ich als Endergebnis für b) da stehen
>  
> [mm](15)=5*(3,2+\wurzel{-2})(3,2-\wurzel{-2})[/mm]
>  
> kann das sein?

ja, das deckt sich mit dem Ergebnis von MAGMA.

LG Felix

Bezug
                                                
Bezug
Primfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Mi 31.08.2011
Autor: can19

vielen lieben dank :)

lg
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