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| Aufgabe | | Sei R ein faktorieller Ring. Zeigen Si: ein Primideal P c R ist genau dann ein Hauptideal, wenn P keine Primideale von R, außer [mm] \{0\} [/mm] und P, enthält |
Hallo. Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
Erstmal zu den Begriffen: Ein faktorieller Ring ist ein Integritätsring, sodass jede von Null versch. Nichteinheit von R als Produkt von Primidealen schreiben kann.
Ein Primidal P [mm] \not= [/mm] R ist, wenn aus a,b [mm] \in [/mm] R mit ab [mm] \in [/mm] P gilt, dass [mm] a\in [/mm] P und [mm] b\in [/mm] P
Aus der Definition folgt doch sofort, dass ein Primideal nicht der gesamte Ring sein kann, oder?
Die eine Richtung ist: Ang, jedes Primideal ist ein Hauptideal, dann folgt, dass P nur [mm] \{0\} [/mm] oder P als Primideal enthält. Das versteh ich nicht so ganz. In jedem fak. Ring gilt doch nach Def., dass jedes Ideal ein Hauprideal ist.
Kann mir einer beim Verständnis helfen?
Gruß und vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Di 27.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TheBozz-mismo,
> Erstmal zu den Begriffen: Ein faktorieller Ring ist ein
> Integritätsring, sodass jede von Null versch. Nichteinheit
> von R als Produkt von Primidealen schreiben kann.
> Ein Primidal P [mm]\not=[/mm] R ist, wenn aus a,b [mm]\in[/mm] R mit ab [mm]\in[/mm]
> P gilt folgt, dass [mm]a\in[/mm] P und oder [mm]b\in[/mm] P
>
> Aus der Definition folgt doch sofort, dass ein Primideal
> nicht der gesamte Ring sein kann, oder?
Ja.
> Die eine Richtung ist: Ang, jedes Primideal ist ein
> Hauptideal, dann folgt, dass P nur [mm]\{0\}[/mm] oder P als
> Primideal enthält. Das versteh ich nicht so ganz. In jedem
> fak. Ring gilt doch nach Def., dass jedes Ideal ein
> Hauprideal ist.
Nein. Faktorielle Ringe sind nicht notwendig Hauptidealringe.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Di 27.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erstmal zu den Begriffen: Ein faktorieller Ring ist ein
> Integritätsring, sodass jede von Null versch. Nichteinheit
> von R als Produkt von Primidealen schreiben kann.
Du meinst: als Produkt von Primelementen.
LG Felix
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