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Forum "Zahlentheorie" - Primidealzerlegung
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Primidealzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:38 Di 26.07.2016
Autor: Fry

Hallo zusammen,

sei [mm]K:=\mathbb Q(\sqrt{-39})=\{a+b\sqrt{-39},a,b\in\mathbb Q\}[/mm]
und [mm]O_K=\{\frac{a+b\sqrt{-39}}{2},a,b\in\mathbb Z,a\equiv b mod 2\}[/mm] der zugehörige Ganzheitsring.

Ich möchte
1) die Primidealzerlegung [mm]p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4[/mm] des Ideals [mm](10)[/mm] in [mm]O_K[/mm] bestimmen bzw. nachweisen, dass die Ideale Primideale sind.
2)Die Produkte der 4 Primideale bestimmen.




Meine Überlegungen zu 1):

Da [mm]-39\equiv 1 mod 4[/mm] müsste nach dem Zerlegungsgesetz (siehe http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/qzk.pdf, S.61, Satz 4.8, bzw. Beweis)

[mm](10)=(2)\cdot (5)=(2,\frac{1+\sqrt{-39}}{2})(2,\frac{1-\sqrt{-39}}{2})(5,\frac{1+\sqrt{-39}}{2})(5,\frac{1-\sqrt{-39}}{2})[/mm] [mm]=:p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4[/mm] sein.

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich beweisen kann, dass die Ideale prim sind?



2) Ich habe bereits bewiesen, dass [mm]p_1*p_2=(2)[/mm] und [mm]p_3*p_4=(5)[/mm] und ferner, dass
[mm]p_2*p_4=(\frac{1}{2}(1-\sqrt{-39}))[/mm].
Allerdings habe ich keine Idee, was das Ergebnis von [mm]p_2*p_3[/mm] oder [mm]p_1*p_4[/mm] seien könnte.
Hätte jemand einen Vorschlag?


Viele Grüße
Fry

        
Bezug
Primidealzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Mi 27.07.2016
Autor: hippias

Zur 1. Frage: Ich setze [mm] $\delta= \frac{1+\sqrt{-39}}{2}$. [/mm]

Zeige, dass

1. [mm] $O_{K}= \IZ[\delta]$ [/mm]

2. [mm] $O_{k}= \IZ+p_{i}$ [/mm]

3. [mm] $\IZ\cap p_{i}$ [/mm] ein Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm]

gilt.

Wende einen Isomorphiesatz auf [mm] $O_{k}/p_{i}$ [/mm] an.



Bezug
                
Bezug
Primidealzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 So 07.08.2016
Autor: Fry

Hey Hippas,

nochmal vielen Dank für deine Antwort! :)

VG
Fry

Bezug
        
Bezug
Primidealzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 01.08.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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