www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Primkörper
Primkörper < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Primkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Sa 23.04.2016
Autor: Blutritter

Aufgabe
p Primzahl, k [mm] \in \IN [/mm]

[mm] \IF_{p^{k}} [/mm] = { [mm] a_{0}\alpha^{0} [/mm] + [mm] a_{1}\alpha^{1} [/mm] + ... +  [mm] a_{k-1}\alpha^{k-1} [/mm] | [mm] a_{0}, a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{k-1} \in \IF_{p} [/mm] } für ein [mm] \alpha \in \IF_{p^{k}} [/mm]

[mm] \IF_{4} [/mm] = {a + [mm] b\alpha [/mm] | a, b [mm] \in \IF_{2} [/mm] }, [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha [/mm]

Hallo,

ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm] \IF_{4}. [/mm]

Ich verstehe die Stelle: [mm] "\alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha" [/mm] nicht.

Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm] \IF_{4} [/mm] wie folgt darstellen:

Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.

[mm] 11^{\IF_{4}} [/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3

Ausserdem soll [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}} [/mm] (also [mm] \IF_{4}) [/mm] und a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] (also [mm] \IF_{2}) [/mm] sein.

Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm] \alpha [/mm] = 3 und Element aus [mm] \IF_{4}. [/mm]

Dann muss ja laut def folgendes gelten:

[mm] \alpha^{2} [/mm] = 9 = 1 + [mm] \alpha [/mm] = 1 + 3 = 4. Das kann ja nicht sein, weil

In  [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] gilt:

9 = 1 und 4 = 0, allerdings ist 1 [mm] \not= [/mm] 0

Also was mache ich falsch?

Ich bin mir ziemlich sicher dass es sich um etwas banales handelt aber habe grade ein Brett vorm Kopf und brauche eure Hilfe.

Gruss

Blutritter



        
Bezug
Primkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Sa 23.04.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] \IF_4 [/mm] ist doch nicht durch 0,1,2,3 beschrieben sondern durch [mm] a+\alpha*b, [/mm] a,b [mm] \in F_2 [/mm]
[mm] \alpha=(1\pm\sqrt(5))/2 [/mm] welche 4 Elemente hast du dann ?
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Primkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 23.04.2016
Autor: Blutritter

Hallo,

danke für die Antwort.

Ich komme nicht drauf :(. Warum [mm] \wurzel{5} [/mm] ?

Man kann [mm] \IF_{4} [/mm] auch wie folgt darstellen:

[mm] \IF_{4} [/mm] := {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} das ist mir bekannt aber ich sehe den Zusammenhang nicht.

Gruss

Blutritter

Bezug
                        
Bezug
Primkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Sa 23.04.2016
Autor: leduart

Hallo
hinter deine [mm] \IF_4 [/mm] steht doch eine Definition und nicht 0,1,2,3,4! und [mm] r^2=1+r [/mm] hat welche Lösungen für r?
dass du nun noch die negativen Zahlen dazuschreibst, sagt nur dass du nicht  in [mm] Z_4 [/mm] nicht weisst, dass 3 und -1 dasselbe ist .
ist denn dein F_ 4 mit 2*2=0 ein Körper?
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Primkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Sa 23.04.2016
Autor: tobit09

Hallo leduart!


>   hinter deine [mm]\IF_4[/mm] steht doch eine Definition und nicht
> 0,1,2,3,4! und [mm]r^2=1+r[/mm] hat welche Lösungen für r?

In welchem Körper möchtest du die Gleichung [mm] $r^2=1+r$ [/mm] lösen?
Falls in [mm] $\IR$: [/mm] Warum? Was hat das mit dem Körper [mm] $\IF_4$ [/mm] zu tun?
Falls in [mm] $\IF_4$: [/mm] Dann kannst du sicherlich nicht durch 2 dividieren, denn es gilt $1+1=0$ in [mm] $\IF_4$. [/mm]


>  dass du nun noch die negativen Zahlen dazuschreibst, sagt
> nur dass du nicht  in [mm]Z_4[/mm] nicht weisst, dass 3 und -1
> dasselbe ist .

Es geht doch hier um [mm] $\IF_4$ [/mm] und nicht um [mm] $Z_4$??? [/mm]


Viele Grüße
Tobias


Bezug
        
Bezug
Primkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Sa 23.04.2016
Autor: tobit09

Hallo Blutritter!


> [mm]\IF_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= $\{$a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

$\}$, [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1

> + [mm]\alpha[/mm]

Dies würde ich eher weniger als Definition von [mm] $\IF_4$ [/mm] verstehen, sondern eher als Beschreibung von Eigenschaften dieses Körpers:

- Es gilt (bei eurer Version von [mm] $\IF_4$): $\IF_4$ [/mm] ist ein Oberkörper von [mm] $\IF_2$ [/mm] (der ja bekanntlich nur aus den Elementen [mm] $0_{\IF_2}$ [/mm] und [mm] $1_{\IF_2}$ [/mm] besteht, wobei in ihm [mm] $1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}$ [/mm] gilt). Insbesondere ist [mm] $0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4$ [/mm] und [mm] $1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4$ [/mm] und mit diesen Elementen 0 und 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in [mm] $\IF_4$ [/mm] genauso wie in [mm] $\IF_2$ [/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm] $\IF_4$). [/mm]

- Es gibt ein weiteres Element [mm] $\alpha\in\IF_4$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2=1+\alpha$ [/mm] in [mm] $\IF_4$ [/mm] (dieses Element [mm] $\alpha$ [/mm] stimmt nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm] $0^2=0\not=1=1+0$ [/mm] und [mm] $1^2=1\not=0=1+1$ [/mm] in [mm] $\IF_2$ [/mm] und damit auch in [mm] $\IF_4$). [/mm]

- JEDES Element von [mm] $\IF_4$ [/mm] lässt sich in der Form [mm] $a+b*\alpha$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IF_2$ [/mm] schreiben.


Die vier Elemente von [mm] $\IF_4$ [/mm] lassen sich also schreiben als:

[mm] $0+0*\alpha=0$ [/mm]
[mm] $1+0*\alpha=1$ [/mm]
[mm] $0+1*\alpha=\alpha$ [/mm]
[mm] $1+1*\alpha=1+\alpha$ [/mm]

(Beachte, dass hier + nicht für die Addition reeller Zahlen, sondern für die Addition in [mm] $\IF_4$ [/mm] steht!)


> ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm]\IF_{4}.[/mm]
>  
> Ich verstehe die Stelle: [mm]"\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha"[/mm] nicht.

Ist sie durch obige Erklärungen etwas klarer geworden?


> Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm]\IF_{4}[/mm] wie folgt
> darstellen:
>  
> Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.

Was meinst du mit der "Zahl 11" im Zusammenhang mit [mm] $\IF_4$? [/mm]
Vermutlich meinst du das Körperelement von [mm] $\IF_4$ [/mm] gegeben durch [mm] $1+1+\ldots+1$ [/mm] mit genau $11$ Einsen?
Dieses stimmt mit dem Element 1 überein, wie man sich mithilfe von $1+1=0$ in [mm] $\IF_4$ [/mm] überlegen kann.


> [mm]11^{\IF_{4}}[/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3

Ja, so kann man in [mm] $\IF_4$ [/mm] rechnen. Es gilt in diesem Körper weiter $3=(1+1)+1=0+1=1$.


> Ausserdem soll [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}}[/mm] (also [mm]\IF_{4})[/mm] und a,
> b [mm]\in \IF_{p}[/mm] (also [mm]\IF_{2})[/mm] sein.
>  
> Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> aus [mm]\IF_{4}.[/mm]

Nein, in [mm] $\IF_4$ [/mm] gilt sicherlich nicht [mm] $\alpha=3$ [/mm] (denn dann wäre [mm] $\alpha=1$ [/mm] und würde nicht der Gleichung [mm] $\alpha^2=1+\alpha$ [/mm] genügen).


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Primkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Ich glaube, daß dem Fragesteller nicht klar ist, daß [mm]\mathbb{F}_4[/mm] etwas ganz, ganz anderes als [mm]\mathbb{Z}_4[/mm] ist. Daher rührt das ganze Chaos.

Bezug
                
Bezug
Primkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 24.04.2016
Autor: Blutritter

Hallo Tobias,

danke für deine ausführliche Antwort.


> > [mm]\IF_{4}[/mm] = [mm]\{[/mm]a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{2}[/mm] [mm]\}[/mm], [mm]\alpha^{2}[/mm] =
> 1
>  > + [mm]\alpha[/mm]

>  Dies würde ich eher weniger als Definition von [mm]\IF_4[/mm]
> verstehen, sondern eher als Beschreibung von Eigenschaften
> dieses Körpers:

ok.


> - Es gilt (bei eurer Version von [mm]\IF_4[/mm]): [mm]\IF_4[/mm] ist ein
> Oberkörper von [mm]\IF_2[/mm] (der ja bekanntlich nur aus den
> Elementen [mm]0_{\IF_2}[/mm] und [mm]1_{\IF_2}[/mm] besteht, wobei in ihm
> [mm]1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}[/mm] gilt). Insbesondere
> ist [mm]0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und
> [mm]1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und mit diesen Elementen 0 und
> 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in
> [mm]\IF_4[/mm] genauso wie in [mm]\IF_2[/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm]\IF_4[/mm]).

Ok, hier wäre schon meine erste Frage: Wieso darf man in [mm] \IF_{4} [/mm] 0 = 1 + 1 rechnen? Wenn 1 + 1 = 0 ist, wie bekommt man dann 4 Elemente in [mm] \IF_{4} [/mm] zusammen?

Also so wie ich es verstanden habe hat ja [mm] \IF_{4} [/mm] 4 Elemente. Das können im Prinzip alle Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] als Körperelemente aus [mm] \IF_{4} [/mm] sein oder? Angenommen [mm] \IF_{4} [/mm] = {0, 1, 2, 3}:

Dann kann man [mm] \IF_{4} [/mm] ja auch wie folgt darstellen [mm] \IF_{4} [/mm] = {-1, -2, -3, 0} = {-1, -2, 0, 1} = {-1, 0, 1, 2} oder aber auch als {-4, -5, -6, -7}

Weil ja folgende Körperelemente identisch sind : 3 = -1 = -5, 2 = -2 = -4,  1 = -3 = -7, 0 = -4 = -8.

Ok angenommen 1 + 1 = 0 in [mm] \IF_{4} [/mm] dann wäre ja 3 = -1 = -5 auch 3 = 0 + 1 = 1 also 3 = 1. Was mache ich falsch?

> - Es gibt ein weiteres Element [mm]\alpha\in\IF_4[/mm] mit
> [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] (dieses Element [mm]\alpha[/mm] stimmt
> nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm]0^2=0\not=1=1+0[/mm] und
> [mm]1^2=1\not=0=1+1[/mm] in [mm]\IF_2[/mm] und damit auch in [mm]\IF_4[/mm]).

Ok die Begründung dafür, dass [mm] \alpha \not= [/mm] 0 oder 1 sein kann habe ich zwar verstanden, aber warum wird das dann nicht in der Beschreibung von [mm] \IF_{4} [/mm] ausgeschlossen?  Ich habe es vergessen dazu zu schreiben aber bei der Beschreibung von [mm] \IF_{4} [/mm] steht noch, dass [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}} [/mm] = [mm] \IF_{4} [/mm] ist.

Also wie [mm] folgt:\IF_{p^{2}} [/mm] = { a + [mm] b\alpha [/mm] | a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] } für ein [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}}, [/mm]

speziell für [mm] \IF_{4} [/mm] stand dann noch [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha [/mm]

  

> - JEDES Element von [mm]\IF_4[/mm] lässt sich in der Form
> [mm]a+b*\alpha[/mm] mit [mm]a,b\in\IF_2[/mm] schreiben.
>  
>
> Die vier Elemente von [mm]\IF_4[/mm] lassen sich also schreiben
> als:
>  
> [mm]0+0*\alpha=0[/mm]
>  [mm]1+0*\alpha=1[/mm]
>  [mm]0+1*\alpha=\alpha[/mm]
>  [mm]1+1*\alpha=1+\alpha[/mm]
>  
> (Beachte, dass hier + nicht für die Addition reeller
> Zahlen, sondern für die Addition in [mm]\IF_4[/mm] steht!)

Ok bis hierhin ist es auch klar.

> > ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm]\IF_{4}.[/mm]
>  >  
> > Ich verstehe die Stelle: [mm]"\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha"[/mm] nicht.
>  Ist sie durch obige Erklärungen etwas klarer geworden?

Mir die Herkunft von [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha [/mm] nach wie vor nicht klar, sorry :(.

> > Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm]\IF_{4}[/mm] wie folgt
> > darstellen:
>  >  
> > Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.
>  Was meinst du mit der "Zahl 11" im Zusammenhang mit
> [mm]\IF_4[/mm]?
>  Vermutlich meinst du das Körperelement von [mm]\IF_4[/mm] gegeben
> durch [mm]1+1+\ldots+1[/mm] mit genau [mm]11[/mm] Einsen?
>  Dieses stimmt mit dem Element 1 überein, wie man sich
> mithilfe von [mm]1+1=0[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] überlegen kann.

Jupp das ist damit gemeint.

> > [mm]11^{\IF_{4}}[/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3
>  Ja, so kann man in [mm]\IF_4[/mm] rechnen. Es gilt in diesem
> Körper weiter [mm]3=(1+1)+1=0+1=1[/mm].

Warum? Siehe oben.

> > Ausserdem soll [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}}[/mm] (also [mm]\IF_{4})[/mm] und a,
> > b [mm]\in \IF_{p}[/mm] (also [mm]\IF_{2})[/mm] sein.
>  >  
> > Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> > aus [mm]\IF_{4}.[/mm]
>  Nein, in [mm]\IF_4[/mm] gilt sicherlich nicht [mm]\alpha=3[/mm] (denn dann
> wäre [mm]\alpha=1[/mm] und würde nicht der Gleichung
> [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] genügen).

Genau, es genügt der Gleichung nicht, wenn [mm] \alpha [/mm] = 3 daher hab ich es auch so gewählt, weils eben nicht ausgeschlossen wird.
Warum darf man es nicht nehmen?

Gruss

Blutritter

Bezug
                        
Bezug
Primkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 So 24.04.2016
Autor: tobit09

Vorweg: Leider wird meine Antwort unbefriedigend bleiben.
Ich bin aktuell weder willens noch in der Lage (meine Algebra-Vorlesung ist schon etwas her...), hier saubere Begründungen der Theorie der endlichen Körper zu geben.

Anbieten kann ich dir lediglich folgende Sichtweise: Wir vertrauen den Ergebnissen der Algebra und versuchen lediglich zu verstehen, was sie besagen und nicht, warum sie gelten.

Wenn du dennoch Begründungen suchst, frag bitte nochmal nach; vielleicht findet sich jemand Anderes.


> > - Es gilt (bei eurer Version von [mm]\IF_4[/mm]): [mm]\IF_4[/mm] ist ein
> > Oberkörper von [mm]\IF_2[/mm] (der ja bekanntlich nur aus den
> > Elementen [mm]0_{\IF_2}[/mm] und [mm]1_{\IF_2}[/mm] besteht, wobei in ihm
> > [mm]1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}[/mm] gilt). Insbesondere
> > ist [mm]0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und
> > [mm]1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und mit diesen Elementen 0 und
> > 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in
> > [mm]\IF_4[/mm] genauso wie in [mm]\IF_2[/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm]\IF_4[/mm]).
>  
> Ok, hier wäre schon meine erste Frage: Wieso darf man in
> [mm]\IF_{4}[/mm] 0 = 1 + 1 rechnen?

Dies möchte ich als Ergebnis der Theorie der Algebra hinnehmen.


> Wenn 1 + 1 = 0 ist, wie bekommt
> man dann 4 Elemente in [mm]\IF_{4}[/mm] zusammen?

Die vier Elemente von [mm] $\IF_4$ [/mm] lauten bei eurer Darstellung:
0, 1, [mm] $\alpha$, $1+\alpha$. [/mm]
[mm] $\alpha$ [/mm] lässt sich NICHT durch wiederholte Addition von 1 mit sich selbst erhalten.


> Also so wie ich es verstanden habe hat ja [mm]\IF_{4}[/mm] 4
> Elemente.

Ja, [mm] $\IF_4$ [/mm] hat vier Elemente.


> Das können im Prinzip alle Zahlen aus [mm]\IZ[/mm] als
> Körperelemente aus [mm]\IF_{4}[/mm] sein oder?

[mm] $\IF_4$ [/mm] hat vier Elemente, [mm] $\IZ$ [/mm] dagegen unendlich viele.
Es lässt sich zwar ein Zusammenhang zwischen [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IF_4$ [/mm] herstellen, aber ich glaube nicht, dass dieser dir groß weiterhilft.


> Angenommen [mm]\IF_{4}[/mm] =
> {0, 1, 2, 3}:

Wenn du möchtest, könntest du zwar z.B. mit 2 das Körperelement [mm] $\alpha$ [/mm] bezeichnen, aber auch das finde ich nicht hilfreich. Vor allem kannst du dann nicht gleichzeitig auch die Zahl 1+1 (in [mm] $\IF_4$) [/mm] mit $2$ bezeichnen, denn [mm] $\alpha\not=0=1+1$ [/mm] in [mm] $\IF_4$. [/mm]


> Dann kann man [mm]\IF_{4}[/mm] ja auch wie folgt darstellen [mm]\IF_{4}[/mm]
> = {-1, -2, -3, 0} = {-1, -2, 0, 1} = {-1, 0, 1, 2} oder
> aber auch als {-4, -5, -6, -7}

Vermutlich meinst du Folgendes:
[mm] $(-1)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_\IF_4$ [/mm] in [mm] $\IF_4$ [/mm]
[mm] $(-2)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}$ [/mm] in [mm] $\IF_4$ [/mm]
[mm] $(-3)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}$ [/mm] in [mm] $\IF_4$. [/mm]

Nun vermutest du [mm] $\IF_4=\{(-1)_{\IF_4},(-2)_{\IF_4},(-3)_{\IF_4},0_{\IF_4}\}$. [/mm]

Das ist völlig falsch!
Es gilt in [mm] $\IF_4$: $(-1)_{\IF_4}=(-3)_{\IF_4}=1_{\IF_4}$ [/mm] und [mm] $(-2)_{\IF_4}=0_{\IF_4}$. [/mm]
Somit enthält [mm] $\{(-1)_{\IF_4},(-2)_{\IF_4},(-3)_{\IF_4},0_{\IF_4}\}=\{0_{\IF_4},1_{\IF_4}\}$ [/mm] nur zwei Elemente!

Leopold_Gast scheint absolut Recht zu haben: Du verwechselst anscheinend den Ring [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] mit dem Körper [mm] $\IF_4$. [/mm]


> Weil ja folgende Körperelemente identisch sind : 3 = -1 =
> -5, 2 = -2 = -4,  1 = -3 = -7, 0 = -4 = -8.

Alle diese Körperelemente sind nur komplizierte Darstellungen von 1 und 0.
Die "interessanteren" Körperelemente in [mm] $\IF_4$ [/mm] sind hingegen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $1+\alpha$. [/mm]


> Ok angenommen 1 + 1 = 0 in [mm]\IF_{4}[/mm] dann wäre ja 3 = -1 =
> -5 auch 3 = 0 + 1 = 1 also 3 = 1.

So ist es auch.


> > - Es gibt ein weiteres Element [mm]\alpha\in\IF_4[/mm] mit
> > [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] (dieses Element [mm]\alpha[/mm] stimmt
> > nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm]0^2=0\not=1=1+0[/mm] und
> > [mm]1^2=1\not=0=1+1[/mm] in [mm]\IF_2[/mm] und damit auch in [mm]\IF_4[/mm]).
>  
> Ok die Begründung dafür, dass [mm]\alpha \not=[/mm] 0 oder 1 sein
> kann habe ich zwar verstanden, aber warum wird das dann
> nicht in der Beschreibung von [mm]\IF_{4}[/mm] ausgeschlossen?

Das ist eher eine didaktische Frage, oder? Man hätte explizit dazu schreiben können, dass [mm] $\alpha\not=0,1$ [/mm] gilt. Dein Dozent hielt dies offenbar für nicht notwendig, darauf explizit hinzuweisen.


> Also wie [mm]folgt:\IF_{p^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= $\{$ a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{p}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> $\}$ für ein [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}},[/mm]
>
> speziell für [mm]\IF_{4}[/mm] stand dann noch [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1 +
> [mm]\alpha[/mm]

Das möchte ich als Resultat der Algebra hinnehmen.


> Mir die Herkunft von [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha[/mm] nach wie vor
> nicht klar, sorry :(.

Ebenfalls ein Resultat der Algebra.


> > > Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> > > aus [mm]\IF_{4}.[/mm]
>  >  Nein, in [mm]\IF_4[/mm] gilt sicherlich nicht [mm]\alpha=3[/mm] (denn
> dann
> > wäre [mm]\alpha=1[/mm] und würde nicht der Gleichung
> > [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] genügen).
>  
> Genau, es genügt der Gleichung nicht, wenn [mm]\alpha[/mm] = 3
> daher hab ich es auch so gewählt, weils eben nicht
> ausgeschlossen wird.
>  Warum darf man es nicht nehmen?

Doch, [mm] $\alpha=1+1+1$ [/mm] IST in [mm] $\IF_4$ [/mm] ausgeschlossen nach Wahl von [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2=1+\alpha$! [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 10m 2. matux MR Agent
UAnaR1/primitiv rekursive Funktion
Status vor 3h 43m 2. fred97
Ind/starke vollständige Induktion
Status vor 6h 24m 6. fred97
MaßTheo/Bestimmung einer Menge
Status vor 15h 17m 3. nosche
UAnaSon/Delta Funktion vs Intergral
Status vor 1d 0h 45m 2. fred97
UAnaInd/Vollständige Induktion
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de