Primkörper, kleinste, isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Sa 12.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Frage 1:
Wenn zwei Integritätsbereiche [mm] R_1, R_2 [/mm] isomorph sind. Sind dann auch die Quotientenkörper [mm] Q_{R_1}:= \{ \frac{a}{s} | a \in R_1, s \in R_1\setminus \{0\}\} [/mm] und [mm] Q_{R_2} [/mm] isomorph? Wenn ja woraus folgt das?
Frage2:
Unsere Definition für Primkörper:
Sei K ein Körper. Der zu [mm] \mathbb{Q} [/mm] bzw. [mm] \mathbb{Z}_p [/mm] isomorphe Teilkörper von K, desses Existenz in vorigen Lemma bewiesen wurde, wird als Primkörper von K bezeichnet.
Warum ist der Primkörper eines Körpers K der kleinste in K enthaltende Teilkörper? |
Hallo,
Unsere Definition:
Es sei [mm] R(\not=\{0\}) [/mm] ein Ring mit 1 und [mm] \chi: \mathbb{Z}\rightarrow [/mm] R der eindeutige Ringhomomorphismus mit [mm] \chi(1_\mathb{Z})=1_R, [/mm] dann [mm] \exists! [/mm] m [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] m [mm] \ge [/mm] 0 mit der Eigenschaft ker [mm] \chi [/mm] = (m)=m [mm] \mathbb{Z}. [/mm] Dieses eindeutig bestimmte m wird die Charakteristik von R genannt
Wir hatten die beiden Sätze:
1)Es sei K ein Körper und R ein Unterring von K mit 1. Dann enthält K einen zum Quotientenkörper von R isomorphen Teilkörper.
2) Sei K ein Körper
Ist char(K)=0. So enthält K einen zu [mm] (\mathbb{Q}, [/mm] +, *) isomorphen Teilkörper
Ist char(K)=p>0. So enthält K einen zu [mm] (\mathbb{Z}_p,+,*) [/mm] isomorphen Teilkörper.
Zu meiner zweiten Frage im Post:
Sei nun [mm] \overline{K} [/mm] der kleinste in K enthaltene Teilkörper.
und [mm] \chi:\mathbb{Z} \rightarrow [/mm] K, [mm] \chi(n)=n*1_k
[/mm]
Fall 1) char(K)=p>0
Nach dem Homomorphiesatz ist Img [mm] \chi \cong \mathbb{Z}/(p) \cong \mathbb{Z}_p.
[/mm]
Also ist Img [mm] \chi [/mm] ein Körper und dementsprechend ist [mm] \overline{K} \subseteq [/mm] Img [mm] \chi [/mm] und umgekehrt ist [mm] Img\chi \subseteq \overline{K} [/mm] da [mm] 1_K \in \chi [/mm] und [mm] \overline{K} [/mm] ist abgeschlossen unter Summation.
Also folgt [mm] \mathbb{Z}_p \cong [/mm] Img [mm] \chi [/mm] = [mm] \overline{K}
[/mm]
Fall 2) chark(K)=0
So ist [mm] \chi [/mm] injektiv und Img [mm] \chi \cong \mathbb{Z}. [/mm]
Nach dem Satz 1 oben gibt es einen zu [mm] Q_{\mathbb{Z}}=\mathbb{Q} [/mm] isomorphen Teilkörper. Nenne diesen T.
Es ist klar, dass [mm] \overline{K} \subseteq [/mm] T.
Aber wie komme ich auf die andere Richtung T [mm] \subseteq \overline{K} [/mm] ??
Mein anderer Versuch zu Fall 2) wäre mit der behauptung zu argumentieren, die ich in Frage 1 gestellt habe. (Img $ [mm] \chi \cong \mathbb{Z}. [/mm] $ [mm] \Rightarrow Q_{Img \chi} \cong Q_{\mathbb{Z}} [/mm] = [mm] \mathbb{Q} [/mm] und demetsprechend ist [mm] Q_{Img \chi} [/mm] ein Teilkörper von [mm] \overline{K}, [/mm] also [mm] Q_{Img \chi} \subseteq \overline{K}. [/mm] Daraus würde folgen [mm] \mathbb{Q} \cong Q_{Img \chi} =\overline{K})
[/mm]
LG,
sissi
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Teil 1 gilt, weil der Quotientenkörper ein Funktor ist. Ich hoffe, du lässt dich dadurch nicht abschrecken, sondern liest weiter, was ich damit meine:
Sei [mm] $f\colon R\longrightarrow [/mm] S$ ein injektiver Homomorphismus von Integritätsbereichen. Definiere einen Homomorphismus [mm] $Q(f)\colon Q(R)\longrightarrow [/mm] Q(S)$ durch [mm] $\frac{a}{b}\longmapsto\frac{f(a)}{f(b)}$.
[/mm]
Dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist, muss man sich einmal klar machen. Ist nun [mm] $g\colon S\longrightarrow [/mm] T$ ein weiterer injektiver Homomorphismus von Integritätsbereichen, so sieht man unmittelbar, dass [mm] $Q(g\circ f)=Q(g)\circ [/mm] Q(f)$. Außerdem gilt [mm] $Q(\operatorname{id}_R)=\operatorname{id}_{Q(R)}$.
[/mm]
Ist nun [mm] $f\colon R\longrightarrow [/mm] S$ ein Isomorphismus mit Inversem [mm] $g\colon S\longrightarrow [/mm] R$, so gilt [mm] $g\circ f=\operatorname{id}_R$ [/mm] und [mm] $f\circ g=\operatorname{id}_S$. [/mm] Anwenden von $Q$ auf diese Gleichungen liefert nach obigem [mm] $Q(g)\circ Q(f)=\operatorname{id}_{Q(R)}$ [/mm] und [mm] $Q(f)\circ Q(g)=\operatorname{id}_{Q(S)}$. [/mm] Folglich ist $Q(f)$ ein Isomrophismus [mm] $Q(R)\longrightarrow [/mm] Q(S)$.
Eine Anmerkung: Bei der Definition der Charakteristik muss selbstverständlich nicht ausgeschlossen werden, dass es sich um den Nullring handelt. Man hat einen eindeutigen Homomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow [/mm] 0$ und dessen Kern wird von $1$ erzeugt.
Zu Teil 2 ist alles in Ordnung, was du schreibst. Deine Frage Nr. 1 kannst du erwenden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 08.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich bitte um Entschuldigung - ich bin zu dieser Frage überhaupt nicht mehr gekommen. Jetzt arbeite ich gerade diese Sachen nach.
Aber ich verstehe nicht warum du dir hier das "kompliziert" ansiehst mittels f.
Du zeigst so doch, dass die Funktionenmengen jeweils isomorph sind.
> Dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist, muss man sich einmal klar machen. Ist nun $ [mm] g\colon S\longrightarrow [/mm] T $ ein weiterer injektiver Homomorphismus von Integritätsbereichen, so sieht man unmittelbar, dass $ [mm] Q(g\circ f)=Q(g)\circ [/mm] Q(f) $. Außerdem gilt $ [mm] Q(\operatorname{id}_R)=\operatorname{id}_{Q(R)} [/mm] $.
> Ist nun $ [mm] f\colon R\longrightarrow [/mm] S $ ein Isomorphismus mit Inversem $ [mm] g\colon S\longrightarrow [/mm] R $, so gilt $ [mm] g\circ f=\operatorname{id}_R [/mm] $ und $ [mm] f\circ g=\operatorname{id}_S [/mm] $. Anwenden von $ Q $ auf diese Gleichungen liefert nach obigem $ [mm] Q(g)\circ Q(f)=\operatorname{id}_{Q(R)} [/mm] $ und $ [mm] Q(f)\circ Q(g)=\operatorname{id}_{Q(S)} [/mm] $. Folglich ist $ Q(f) $ ein Isomrophismus $ [mm] Q(R)\longrightarrow [/mm] Q(S) $.
Durch deinen Tipp hätte ich kurz gezeigt:
Da [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] isomorph sind gibt es einen Isomorphismus [mm] \phi:R_1 \rightarrow R_2
[/mm]
Definiere [mm] \Phi: Q_{R_1} \rightarrow Q_{R_2} [/mm] mit [mm] \Phi(\frac{a}{b})=\frac{\phi(a)}{\phi(b)}
[/mm]
1) [mm] \Phi [/mm] ist wohldefiniert (Lese von links nach rechts) & [mm] \Phi [/mm] injektiv(Lese von rechts nach links)
[mm] \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff [/mm] ad=bc [mm] \iff \phi(ad)=\phi(bc) \iff \phi(a)\phi(d)=\phi(b) \phi(c) \iff \frac{\phi(a)}{\phi(b)}= \frac{\phi(c)}{\phi(d)}
[/mm]
2) [mm] \phi [/mm] surjektiv
Sei [mm] \frac{a}{s} \in Q_{R_2} [/mm] mit [mm] a\in R_2 [/mm] und s [mm] \in R_2\setminus\{0\}
[/mm]
Da [mm] \phi [/mm] surjektiv ist [mm] \exists [/mm] b,t [mm] \in R_2: \phi(b)=a, \phi(t)=s
[/mm]
Da s [mm] \not=0 [/mm] und [mm] \phi [/mm] injektiv ist auch [mm] \phi(t) \not=0 [/mm]
[mm] \Phi(\frac{\phi^{-1} (a)}{\phi^{-1} (s)})= \frac{a}{s}
[/mm]
3) [mm] \Phi (\frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{c}{d})= \Phi(\frac{a}{b}) [/mm] + [mm] \Phi(\frac{c}{d}) [/mm] und [mm] \Phi( \frac{a}{b}*\frac{c}{d})= \Phi (\frac{a}{b})*\Phi (\frac{c}{d}) [/mm] sind als einfache Rechnung klar.
Noch eine Frage:
Beim ersten Post vertehe ich plötzlich eine Sache nicht mehr:
Bei Fall 2) zu char(K)=0 ist Img $ [mm] \chi \cong \mathbb{Z}. [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow Q_{Img \chi} \cong Q_{\mathbb{Z}} [/mm] $ = $ [mm] \mathbb{Q} [/mm] $
Es ist klar [mm] \overline{K} \subseteq Q_{Img \chi} [/mm] als Primkörper
aber warum gilt die andere Inklusion [mm] \overline{K} \supseteq Q_{Img \chi}?
[/mm]
Mit [mm] \mathbb{Z} \cong [/mm] Img [mm] \chi \subseteq \overline{K} [/mm] bin ich nicht weitergekommen, außer dass dann gilt [mm] Q_{Img \chi} \subseteq Q_{\overline{K}}.
[/mm]
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Ich möchte noch einen anderen Beweisweg vorschlagen:
1. Der kleinste Teilkörper ist derjenige Teilkörper, der von $1$ erzeugt wird
2. [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] und [mm] $\IQ$ [/mm] werden von $1$ erzeugt.
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> Hallo,
> Ich bitte um Entschuldigung - ich bin zu dieser Frage
> überhaupt nicht mehr gekommen. Jetzt arbeite ich gerade
> diese Sachen nach.
Kein Problem 
> Aber ich verstehe nicht warum du dir hier das "kompliziert"
> ansiehst mittels f.
Diesen Satz verstehe ich nicht.
> Du zeigst so doch, dass die Funktionenmengen jeweils
> isomorph sind.
Die Quotientenkörper.
> > Dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist,
> muss man sich einmal klar machen. Ist nun [mm]g\colon S\longrightarrow T[/mm]
> ein weiterer injektiver Homomorphismus von
> Integritätsbereichen, so sieht man unmittelbar, dass
> [mm]Q(g\circ f)=Q(g)\circ Q(f) [/mm]. Außerdem gilt
> [mm]Q(\operatorname{id}_R)=\operatorname{id}_{Q(R)} [/mm].
>
> > Ist nun [mm]f\colon R\longrightarrow S[/mm] ein Isomorphismus mit
> Inversem [mm]g\colon S\longrightarrow R [/mm], so gilt [mm]g\circ f=\operatorname{id}_R[/mm]
> und [mm]f\circ g=\operatorname{id}_S [/mm]. Anwenden von [mm]Q[/mm] auf diese
> Gleichungen liefert nach obigem [mm]Q(g)\circ Q(f)=\operatorname{id}_{Q(R)}[/mm]
> und [mm]Q(f)\circ Q(g)=\operatorname{id}_{Q(S)} [/mm]. Folglich ist
> [mm]Q(f)[/mm] ein Isomrophismus [mm]Q(R)\longrightarrow Q(S) [/mm].
>
>
> Durch deinen Tipp hätte ich kurz gezeigt:
> Da [mm]R_1[/mm] und [mm]R_2[/mm] isomorph sind gibt es einen Isomorphismus
> [mm]\phi:R_1 \rightarrow R_2[/mm]
> Definiere [mm]\Phi: Q_{R_1} \rightarrow Q_{R_2}[/mm]
> mit [mm]\Phi(\frac{a}{b})=\frac{\phi(a)}{\phi(b)}[/mm]
> 1) [mm]\Phi[/mm] ist wohldefiniert (Lese von links nach rechts) &
> [mm]\Phi[/mm] injektiv(Lese von rechts nach links)
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff[/mm] ad=bc [mm]\iff \phi(ad)=\phi(bc) \iff \phi(a)\phi(d)=\phi(b) \phi(c) \iff \frac{\phi(a)}{\phi(b)}= \frac{\phi(c)}{\phi(d)}[/mm]
>
> 2) [mm]\phi[/mm] surjektiv
> Sei [mm]\frac{a}{s} \in Q_{R_2}[/mm] mit [mm]a\in R_2[/mm] und s [mm]\in R_2\setminus\{0\}[/mm]
>
> Da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist [mm]\exists[/mm] b,t [mm]\in R_2: \phi(b)=a, \phi(t)=s[/mm]
>
> Da s [mm]\not=0[/mm] und [mm]\phi[/mm] injektiv ist auch [mm]\phi(t) \not=0[/mm]
> [mm]\Phi(\frac{\phi^{-1} (a)}{\phi^{-1} (s)})= \frac{a}{s}[/mm]
> 3)
> [mm]\Phi (\frac{a}{b}[/mm] + [mm]\frac{c}{d})= \Phi(\frac{a}{b})[/mm] +
> [mm]\Phi(\frac{c}{d})[/mm] und [mm]\Phi( \frac{a}{b}*\frac{c}{d})= \Phi (\frac{a}{b})*\Phi (\frac{c}{d})[/mm]
> sind als einfache Rechnung klar.
In Ordnung [OK]
> Noch eine Frage:
> Beim ersten Post vertehe ich plötzlich eine Sache nicht
> mehr:
> Bei Fall 2) zu char(K)=0 ist Img [mm]\chi \cong \mathbb{Z}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow Q_{Img \chi} \cong Q_{\mathbb{Z}}[/mm] = [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> Es ist klar [mm]\overline{K} \subseteq Q_{Img \chi}[/mm] als
> Primkörper
> aber warum gilt die andere Inklusion [mm]\overline{K} \supseteq Q_{Img \chi}?[/mm]
>
> Mit [mm]\mathbb{Z} \cong[/mm] Img [mm]\chi \subseteq \overline{K}[/mm] bin
> ich nicht weitergekommen, außer dass dann gilt [mm]Q_{Img \chi} \subseteq Q_{\overline{K}}.[/mm]
Also weshalb gilt [mm] $Q_{Img\chi}\subseteq \overline{K}$? [/mm] Nun, die Elemente von [mm] $Q_{Img\chi}$ [/mm] sind von der Form [mm] $\frac{m}{n}$, [/mm] wobei wir mit $m$ bzw. $n$ das Element [mm] $m\cdot 1_K$ [/mm] bzw. [mm] $n\cdot 1_K$ [/mm] enthalten. [mm] $\overline{K}$ [/mm] ist ein Unterkörper, enthält also [mm] $1_K$. [/mm] Dann enthält es auch [mm] $m\cdot 1_K$ [/mm] und [mm] $n\cdot 1_K$, [/mm] also [mm] $\frac{m}{n}$.
[/mm]
> LG,
> sissi
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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