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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 14.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Sei [mm] p_{1}=2 [/mm] und [mm] p_{k+1} [/mm] größter Primteiler von [mm] N_{k}=p_{1} \ldots p_{k}+1
[/mm]
Beispiel: [mm] p_{1}=2 [/mm] , [mm] N_1 [/mm] = [mm] 2+1=3=p_2 [/mm] , [mm] N_2 [/mm] = [mm] 2*3+1=7=p_3 \dots N_4=2*3*7*43+1=1807=13*139 \Rightarrow p_5 [/mm] = 139
Zeige: 5 kommt nicht in der Liste vor. |
Hallo liebe Matheräumler,
Ich sitze hier vor diesem Problem schon eine ganze weile und komme einfach nicht weiter.
Mein Gedanke war, dass man zeigen muss dass kein [mm] N_k [/mm] gibt, sodass sich [mm] N_k [/mm] in der Form [mm] N_k [/mm] = [mm] 2^{x_{1}}*3^{x_{2}}*5^{x_{3}} [/mm] darstellen lässt.
Leider komme ich auch an der Stelle nicht weiter :'(
Danke schon mal für eure Hilfe.
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> Sei [mm]p_{1}=2[/mm] und [mm]p_{k+1}[/mm] größter Primteiler von
> [mm]N_{k}=p_{1} \ldots p_{k}+1[/mm]
> Beispiel: [mm]p_{1}=2[/mm] , [mm]N_1[/mm] =
> [mm]2+1=3=p_2[/mm] , [mm]N_2[/mm] = [mm]2*3+1=7=p_3 \dots N_4=2*3*7*43+1=1807=13*139 \Rightarrow p_5[/mm]
> = 139
> Zeige: 5 kommt nicht in der Liste vor.
> Hallo liebe Matheräumler,
> Ich sitze hier vor diesem Problem schon eine ganze weile
> und komme einfach nicht weiter.
> Mein Gedanke war, dass man zeigen muss dass kein [mm]N_k[/mm] gibt,
> sodass sich [mm]N_k[/mm] in der Form [mm]N_k[/mm] =
> [mm]2^{x_{1}}*3^{x_{2}}*5^{x_{3}}[/mm] darstellen lässt.
> Leider komme ich auch an der Stelle nicht weiter :'(
>
> Danke schon mal für eure Hilfe.
Zunächst einmal kann [mm] N_k [/mm] für [mm] $k\ge [/mm] 2$ weder durch 2 noch durch 3 teilbar sein. Damit muss nur noch die Möglichkeit ausgeschlossen werden, dass [mm] N_k [/mm] eine Fünferpotenz ist.
Jedoch ist [mm] $5^n-1$ [/mm] für alle n durch 4 teilbar, während das Produkt der [mm] p_j [/mm] niemals durch 4 teilbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 14.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo donquijote,
> Zunächst einmal kann [mm]N_k[/mm] für [mm]k\ge 2[/mm] weder durch 2 noch
> durch 3 teilbar sein. Damit muss nur noch die Möglichkeit
> ausgeschlossen werden, dass [mm]N_k[/mm] eine Fünferpotenz ist.
Nein, es gibt durchaus mehr Möglichkeiten!
> Jedoch ist [mm]5^n-1[/mm] für alle n durch 4 teilbar, während das
> Produkt der [mm]p_j[/mm] niemals durch 4 teilbar ist.
Ok, es ist keine Fünferpotenz.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mo 14.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo donquijote,
>
> > Zunächst einmal kann [mm]N_k[/mm] für [mm]k\ge 2[/mm] weder durch 2 noch
> > durch 3 teilbar sein. Damit muss nur noch die Möglichkeit
> > ausgeschlossen werden, dass [mm]N_k[/mm] eine Fünferpotenz ist.
>
> Nein, es gibt durchaus mehr Möglichkeiten!
Welche denn? 2 und 3 kommen als Primteiler nicht in Frage und wenn der größte Primteiler 5 sein soll, bleibt nur die Fünferpotenz.
>
> > Jedoch ist [mm]5^n-1[/mm] für alle n durch 4 teilbar, während das
> > Produkt der [mm]p_j[/mm] niemals durch 4 teilbar ist.
>
> Ok, es ist keine Fünferpotenz.
>
> Grüße
> reverend
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mo 14.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo donquijote,
es liegt an der Formulierung der Aufgabe. "Die Liste" ist hier ja nicht näher spezifiziert.
Wenn zu zeigen ist, dass kein [mm] p_i=5 [/mm] sein kann, hast Du mit Deiner Lösung vollkommen Recht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 14.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo donquijote,
>
> es liegt an der Formulierung der Aufgabe. "Die Liste" ist
> hier ja nicht näher spezifiziert.
>
> Wenn zu zeigen ist, dass kein [mm]p_i=5[/mm] sein kann, hast Du mit
> Deiner Lösung vollkommen Recht.
>
> Grüße
> reverend
>
Hallo reverend,
ich finde schon, dass man die Aufgabe so verstehen muss, wie ich es getan habe, auch wenn die Formulierung klarer sein könnte.
Da die übrigen Primteiler der [mm] N_k [/mm] gar nicht betrachtet werden, gibt es auch keine "Liste", in der man nach diesen suchen könnte.
Und eine Aufgabe, die man löst, indem man die ersten 5 Folgenglieder ausrechnet, wäre ziemlich langweilig ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mo 14.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo donquijote,
gut, dann einigen wir uns, dass die Aufgabe ziemlich langweilig ist, egal wie man sie versteht. 
Nichts für ungut; ich habe am Anfang undeutlich formuliert bzw. nicht darauf hingewiesen, was der Grund meiner Einlassung war. In Deinem Aufgabenverständnis ist Deine Lösung elegant und, wie schon gesagt, natürlich richtig.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Du schreibst hier übrigens in letzter Zeit überhaupt viele gute Antworten. Danke dafür!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 14.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
Super, danke für eure Mühe. Mit der Liste ist meiner Meinung nach das [mm] p_i [/mm] gemeint, also ist die Lösung von DonQuijote richtig :)
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Hallo mOppel,
die Aufgabe ist hübsch gedacht, aber bescheuert formuliert.
> Sei [mm]p_{1}=2[/mm] und [mm]p_{k+1}[/mm] größter Primteiler von
> [mm]N_{k}=p_{1} \ldots p_{k}+1[/mm]
> Beispiel: [mm]p_{1}=2[/mm] , [mm]N_1[/mm] =
> [mm]2+1=3=p_2[/mm] , [mm]N_2[/mm] = [mm]2*3+1=7=p_3 \dots N_4=2*3*7*43+1=1807=13*139 \Rightarrow p_5[/mm]
> = 139
> Zeige: 5 kommt nicht in der Liste vor.
Prima. Welche Liste? Soll das heißen: kein [mm] p_i=5 [/mm] ? Dann beachte die Antwort von donquijote, wie man das nachweist.
Das wäre aber eine langweilige Aufgabe, scheint mir.
Interessanter wäre die Frage, ob die 5 jemals als Faktor der [mm] N_i [/mm] auftritt. Das ist allgemein schwieriger zu zeigen, aber es genügt andererseits, [mm] N_5 [/mm] zu berechnen...
Grüße
reverend
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