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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 06.12.2004 | | Autor: | susannak |
Ich weiß einfach nicht, was ich hier machen soll. Vielleicht kann mir ja mal jemand helfen.
Sei p Element der natürlichen Zahlen und eine Primzahl.
(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen des F(p) ^3.
(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Fahnen im F(p) ^3.
Keine Ahnung wie ich das machen soll. Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Di 07.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo susannak!
> Sei p Element der natürlichen Zahlen und eine Primzahl.
>
> (a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen des F(p) ^3.
> (b) Bestimmen Sie die Anzahl der Fahnen im F(p) ^3.
>
> Keine Ahnung wie ich das machen soll. Hat jemand eine
> Idee?
[mm] $\IF_p$ [/mm] soll ja wahrscheinlich der (endliche) Primzahlkörper sein, mit den p Elementen [mm] $\{0_p,1_p,2_p,\ldots,(p-1)_p\}$
[/mm]
Der Vektorraum [mm] $\IF_p^3$ [/mm] hat also [mm] p^3 [/mm] verschiedene Elemente.
Für die Bestimmung der Basisanzahl würde ich mir überlegen, welche Vektoren ich als den ersten Basisvektor wählen kann [mm] ($p^3-1$ [/mm] Stück, nämlich alle ausser dem Nullvektor). Welche Vektoren kann ich als zweiten wählen (alle Vektoren, die nicht Vielfaches des ersten sind).
Und letztlich, wie viele Vektoren kann ich also dritten wählen?
Eine derartige Berechnung würde hier schon mal durchgeführt, hoffentlich hilft es dir weiter.
Zu b)
Eine Fahne ist ja eine aufsteigende Folge von Vektorräumen [mm] $V_0,V_1,V_2,V_3$ [/mm] mit [mm] $\{0\}=V_0\subset V_1\subset V_2\subset V_3=\IF_p^3$ [/mm] und [mm] $\dim V_i=i$.
[/mm]
Nun kennen wir ja schon alle Basen des [mm] $\IF_p^3$.
[/mm]
Läßt man bei einer dieser Basen ein Basiselement weg, so erhält man ja eine Basis für eine mögliches [mm] $V_2$.
[/mm]
Dann kann man wieder eines der beiden Basiselemente von [mm] $V_2$ [/mm] weg lassen und erhält eine Basis für [mm] $V_1$.
[/mm]
Mit dieser Überlegung sollte es dir eigentlich möglich sein, die Anzahl der Fahnen zu bestimmen; falls nicht: Einfach nachfragen 
Viele Grüße,
Marc
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