Primzahl p kongruent 1 mod 6 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:35 Fr 13.06.2014 | | Autor: | huberT |
| Aufgabe | Beweise, dass jede Primzahl p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 6 sich darstellen lässt als
p = a² + 3b² mit natürlichen Zahlen a,b. |
Hey Leute ich brauch mal wieder eure Hilfe.
Ich sitz an obiger Aufgabe. Diesmal bekomm ich nicht einmal einen Ansatz hin. Könnt ihr mir vielleich eine Idee geben?
Liebe Grüße
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Hallo,
ich würde einen Beweis ähnlich zum Zwei-Quadrate-Satz mittels [mm] $\mathbb [/mm] Z [i]$ in den Eisenstein-Zahlen [mm] $\mathbb Z[\xi_3]$ [/mm] versuchen.
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Hallo huberT,
> Beweise, dass jede Primzahl p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 6 sich
> darstellen lässt als
> p = a² + 3b² mit natürlichen Zahlen a,b.
> Hey Leute ich brauch mal wieder eure Hilfe.
> Ich sitz an obiger Aufgabe. Diesmal bekomm ich nicht
> einmal einen Ansatz hin. Könnt ihr mir vielleich eine
> Idee geben?
Halten wir erstmal ein paar naheliegende Dinge fest:
1) [mm] a\not=b
[/mm]
2) [mm] ab\not=0
[/mm]
3) [mm] a+b\equiv 1\bmod{2}
[/mm]
4) [mm] \ggT{(a,b)}=1
[/mm]
Dann mal ein Blick auf die ersten paar Zahlen, sagen wir von [mm] 7\le p\le{301}. [/mm] Dabei habe ich einfach alle betrachtet, die [mm] \equiv 1\bmod{6} [/mm] sind, egal ob prim oder nicht.
Nicht darstellbar sind folgende: 1,25,49,55,85,115,121,145,169,187,205,235,253,265,289,291.
Das sieht erstmal wenig vorhersagbar aus, aber immerhin sind diese Zahlen alle nicht prim. Wenn Du das allgemein zeigen kannst, bist Du ja auch fertig: wenn eine Zahl nicht in der Form [mm] a^2+3b^2 [/mm] dargestellt werden (mit den oben schon genannten Beschränkungen!), dann ist sie auch nicht prim.
Ich bin übrigens sicher, dass Du die folgende Feststellung brauchst, sobald Du die Frage gefunden hast: [mm] 175=10^2+3*5^2.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 14.06.2014 | | Autor: | huberT |
Ich bin jetzt so weit:
Wir wollen zeigen, dass wenn eine Zahl p nicht in der Form a² + 3b² dargestellt werden kann, dass dann p auch nicht prim sein kann. Dabei müssen die von dir genannten Bedingungen 1), 2), 3), 4) gelten, da in allen vier Fällen (wenn eine der Bedingungen verletzt wäre) folgte, p wäre nicht prim und wir dann eh schon fertig wären.
Sei also p [mm] \not= [/mm] a² + 3b². Aus 2) a + b [mm] \equiv [/mm] 1 mod 2 geht dann hervor, dass a und b von unterschiedlicher Parität sein müssen. Wir unterscheiden also die beiden Fälle 1. a ungerade, b gerade und 2. a gerade und b ungerade.
Dann gilt
1. Sei etwa a = 2m + 1 und b = 2n
p [mm] \not= [/mm] (2m + 1)² + 3(2n)² = 4*(m² + m + 3n²) + 1
d. h. p ist nicht kongruent 1 modulo 2, also p nicht prim!
2. Seit etwa a = 2m und b = 2n + 1
p [mm] \not= [/mm] (2m)² + 3(2n + 1)² = 4(m² + 3n² + 3n) + 3
d. h. p nicht kongruent 1 modulo 2, also p nicht prim!
In beiden Fällen folgt also aus p [mm] \not= [/mm] a² + 3b² dass p nicht prim ist.
Argumentiere ich richtig und wofür benötige ich noch 175 = 10² + 3*5² ?
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Hallo nochmal,
gut. Du dringst tiefer in die Kongruenzprobleme ein.
> Ich bin jetzt so weit:
Moment...
> Wir wollen zeigen, dass wenn eine Zahl p nicht in der Form
> a² + 3b² dargestellt werden kann, dass dann p auch nicht
> prim sein kann.
Genau. Das ist der Ansatz, den ich vorgeschlagen habe.
> Dabei müssen die von dir genannten
> Bedingungen 1), 2), 3), 4) gelten, da in allen vier Fällen
> (wenn eine der Bedingungen verletzt wäre) folgte, p wäre
> nicht prim und wir dann eh schon fertig wären.
Richtig!
> Sei also p [mm]\not=[/mm] a² + 3b². Aus 2) a + b [mm]\equiv[/mm] 1 mod 2
> geht dann hervor, dass a und b von unterschiedlicher
> Parität sein müssen. Wir unterscheiden also die beiden
> Fälle 1. a ungerade, b gerade und 2. a gerade und b
> ungerade.
Soweit eine gute Überlegung.
> Dann gilt
>
> 1. Sei etwa a = 2m + 1 und b = 2n
> p [mm]\not=[/mm] (2m + 1)² + 3(2n)² = 4*(m² + m + 3n²) + 1
> d. h. p ist nicht kongruent 1 modulo 2, also p nicht prim!
>
> 2. Seit etwa a = 2m und b = 2n + 1
> p [mm]\not=[/mm] (2m)² + 3(2n + 1)² = 4(m² + 3n² + 3n) + 3
> d. h. p nicht kongruent 1 modulo 2, also p nicht
> prim!
Das stimmt beides nicht. Denk nochmal drüber nach. Das ist noch kein Weg zur Lösung.
> In beiden Fällen folgt als
o aus p [mm]\not=[/mm] a² + 3b² dass p
> nicht prim ist.
Leider stimmt das nicht. Sonst wäre es perfekt.
> Argumentiere ich richtig und wofür benötige ich noch 175
> = 10² + 3*5² ?
Teilerfremdheit.
So einfach, wie es noch aussieht, ist es nicht.
Hast Du noch eine Idee?
Versuch z.B. mal Euler-Fermat. Hilft das weiter? Wenn nein, warum nicht?
Was weißt Du schon über quadratische Restklassen? Vielleicht (!) wäre das ja hilfreich.
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:34 So 15.06.2014 | | Autor: | huberT |
Hallo reverend :)
mein fehler lag wohl darin, dass falls p [mm] \not= [/mm] a² + 3b², sich p zwar nicht als eine Zahl darstellen lässt die nicht durch 2 teilbar ist, aber dass das noch lange nicht heißt dass p dann durch 2 teilbar sein muss und somit nicht kongruent 2 ist.
Fermat sagt doch, dass für eine Primzahl p und für eine zu p teilerfremde Zahl a gilt
[mm] a^{p-1} \equiv [/mm] 1 mod p
und nach Euler gilt
[mm] (\bruch{a}{b}) \equiv a^{\bruch{p-1}{2}} [/mm] mod p
wobei [mm] (\bruch{a}{b}) [/mm] das legendre-symbol meint.
Ich weiß nicht, wie ich die beiden Sätze hier anwenden soll. p würde ich gleich a² + 3b² setzen aber was nehme ich für a?
Zu den quadratischen Kongruenzen weiß ich, dass das Legendre symbol gleich 1 sein muss. Außerdem kenn ich das quadratische Reziprozitätsgesetz mit den beiden Ergänzungssätzen. Meintest du das ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Di 17.06.2014 | | Autor: | huberT |
hey, ich bin leider immer noch nicht weiter :(
reverend kannst du mir noch einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 17.06.2014 | | Autor: | wauwau |
DAs ist aber ein sehr komplexes Problem, das im allgemeinen "Repräsentation von Primzahlen durch quadratische Formen" genannt wird! Sieh mal hier, da ist alles zu deinem Problem sehr schön angeführt, erfordert aber Kenntnisse von quadratischen Resten,.....
http://math.stackexchange.com/questions/76878/integers-expressible-in-the-form-x2-3y2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Di 17.06.2014 | | Autor: | huberT |
vielen dank wauwau! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 17.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 15.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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