Primzahlen und Teilerfremdheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Sa 13.11.2004 | | Autor: | mdavid |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle
folgenden Aufgabe bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen:
Seien 1 < a, b ∈ N. Dann sind a und b teilerfremd genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von a und b keine
Primzahl beidesmal mit positivem Exponenten auftaucht.
Eigentlich ganz logisch und eine Beweisidee habe ich auch, ich bin mir nur nicht sicher ob das so einfach sein kann:
a) a und b teilerfremd [mm] \Rightarrow [/mm] keine Primzahl taucht in der Zerlegung von a und b beidesmal mit positivem Exponenten auf
Beweis durch Widerspruch: Sei p1^e1 * .. * pi ^ei * ... * pn ^en die Primfaktorzerlegung von a und p1^f1 * .. * pi ^fi * ... * pn ^fn die Zerlegung von b. Angenommen es existiert ein i element der Menge 1 bis n so dass ei und fi größer null. Dann würde pi sowohl pi ^ ei als auch pi ^ fi teilen und damit auch a und b und damit wären a und b nicht teilerfremd => Widerspruch
b) keine Primzahl taucht in der Zerlegung von a und b beidesmal mit positiven Exponenten auf [mm] \Rightarrow [/mm] a und b sind teilerfremd
Wiederum ein Widerspruchsbeweis: Annahme: a und b sind nicht teilerfremd, d.h es existiert ein c mit c teilt a und c teilt b. Damit muss es in der Primfaktorzerlegung von c mindestens einen Index i element der Menge 1 bis n geben so dass für pi ^ gi gilt gi > = 1. Aus c teilt a bzw b und pi ^ gi teilt c und pi teilt pi ^gi folgt dass pi a bzw b teilt. Damit muss aber auch der entsprechende Exponent von pi in der Zerlegung von a bzw b jeweils größer gleich 1 sein => Widerspruch
Meine Frage nun: Ist der Beweis richtig. D.h. stimmt die Beweisidee, und ist die Beweisführung logisch richtig, lückenlos und korrekt?
Danke schonmal im Voraus für die Hilfe
Michael
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- ich hätte als Tutor volle Punktzahl gegeben. 
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