Primzahlfunktion ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen !!!!
Mich würde interessieren, ob es eine Funktion gibt, deren Nullstellen nur Primzahlen sind ?
Also
[mm] f(x)=0 \gdw x\in \IP [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Do 22.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Marc,
Auf was ist denn die gewünschte Funktion definiert und was soll sie für Eigenschaften haben? Wenn man keine weiteren Bedingungen an die Funktion stellt, gibt es eine solche natürlich:
Sei [mm] $P\subset\mathbb{Z}\subset\$ [/mm] die Menge der Primzahlen. Dann definiere beispielsweise die Funktion [mm] $1_P:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] durch [mm] $1_P(x)=0$, [/mm] falls [mm] $x\inP$, [/mm] und [mm] $1_P(x)=1$ [/mm] sonst.
Aber du hast dir sicher etwas anderes vorgestellt oder? Eine differenzierbare Funktion oder etwas in der Art?
Viele Grüße,
Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Do 22.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Jan !
Also zunächst einmal, wäre ja deine Funktion eine "Prüffunktion", die die Kenntnis der Primzahlen vorraussetzt.
Ich meine vielmehr eine Funktion, deren Gleichung [mm]f(x)=0[/mm] als Lösung nur Primzahlen besitzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 22.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Um JanZ zu ergänzen: Du musst schon genauer spezifizieren, welche Funktionenklasse dir für das $f$ vorschwebt: Polynome, oder sonstwas
Man könnte sonst z.B. auch $f(x) = [mm] x-\varphi(x)-1$ [/mm] mit der Eulerschen [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] definieren, die erfüllt für [mm] $x\geq [/mm] 2$ auch deine Bedingung. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen
Also, ich habe folgende Funktion konstruiert, dazu möchte ich vorweg einige Definitionen angeben:
Definition 1.1
[mm]Seien\ X,Y\ Mengen\ und\ f:X\to Y\ eine\ Abbildung.\ Sei\ a\in Y\ beliebig,\ dann\ bezeichnet[/mm]
[mm]L_{f}^a:=\{x\in X;f(x)=a\}[/mm]
[mm]die\ Loesungsmenge\ aller\ x\in X,\ fuer\ die\ die\ Gleichung\ f(x)=a\ eine\ Loesung\ besitzt.[/mm]
[mm]Die\ Elemente\ werden\ mit\ \gamma_{i}\ bezeichnet.[/mm]
Somit folgt erstmal, wenn [mm]L_{f}^a=\emptyset[/mm], dann existiert kein [mm]x\in X[/mm], dass der Gleichung [mm]f(x)=a[/mm] genügt.
Weiter folgt, dass wenn [mm]L_{f}^a=\emptyset[/mm], für mindestens ein [mm]a\in Y[/mm], dann ist [mm]f[/mm] nicht surjektiv.
Und, wenn [mm]|L_{f}^a|=1[/mm] für alle [mm]a\in Y[/mm] sowie [mm]|X|=|Y|[/mm], dann ist [mm]f[/mm] bijektiv, wobei mit [mm]|*|[/mm] die Anzahl der Mengenelemente gemeint ist.
Aber das nur am Rande. Kommen wir zur nächsten Definition:
Definition 1.2
[mm]Sei\ I_{n}:=\{x\in \IN ;p_{n-1}\le x
[mm]Fuer\ alle\ x\in I_{n}\ und\ n\in \IN\ mit\ n\ge 2\ sei\ eine\ Abbildung\ f_{n}:I_{n}\to \IR\ gegeben\ mit[/mm]
[mm]f_{n}(x):= \produkt_{i=1}^{n-1}\tan\left(\left( \bruch{x}{p_{i}}+ \bruch{1}{2}\right)\cdot \pi \right)[/mm]
[mm]wobei\ p_{1}=2\ und\ p_{n}=\min\{\gamma_{i}\in L_{f_n}^0\}.[/mm]
Hierzu ein Beispiel: Sei [mm]n=2[/mm] und [mm]p_1=2[/mm], dann gilt
[mm]f_2(x)=\tan\left(\bruch{(x+1)\pi}{2}\right),[/mm]
mit [mm]I_n=\{x\in \IN;2\le x< 4\}[/mm]. Da [mm]f(2)[/mm] nicht definiert ist, folgt [mm]L_{f_2}^0=\{3\}[/mm] und somit [mm]p_2=3[/mm]
Es folgt der
Satz 1.3
[mm]Sei\ \IP\ die\ Menge\ der\ Primzahlen.\ Sei\ f_n\ gegeben\ mit\ n\in\IN\ und\ n\ge 2,\ sowie\ I_n \subset\IN\ eine\ Teilmenge\ auf\ \IN,[/mm]
[mm]dann\ sind\ alle\ \gamma_i\in L_{f_n}^0=\{x\in I_n,f_n(x)=0\}\ Primzahlen\ und\ es\ gilt[/mm]
[mm] \bigcup_{i=1}^{ \infty}L_{f_n}^0=\IP[/mm]
So, das wars.......beweisen will ichs später.
Was sagt ihr ?
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Noch ne Zusatzfrage:
[mm]\IZ_p[/mm] ist Körper, für [mm]p\in \IP[/mm]. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist (genauso wie die natürlichen Zahlen), ist dann bei geeigneter Definition [mm]\IN[/mm] Körper ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 23.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
das ganze nach einer etwas verklausulierten Version des ![[]](/images/popup.gif) Sieb des Eratosthenes aus.
Der erste Faktor liefert ja grundsätzlich Nullstellen für alle ungeraden x:
Ist x=2k+1 mit [mm] k\in \IN, [/mm] dann gilt:
[mm]\tan \left(\bruch{(x+1)\pi}{2}\right) = \tan \left(\bruch{(2k+2)\pi}{2}\right) = \tan (k+1)\pi = 0[/mm]
Der Faktor mit [mm] p_i [/mm] liefert Definitionslücken für alle Vielfachen von [mm] p_i. [/mm] Ist [mm] x=k\cdot p_i, [/mm] dann ist
[mm]\left( \bruch{x}{p_{i}}+ \bruch{1}{2}\right)\cdot \pi = \left( \bruch{k\cdot p_i}{p_{i}}+ \bruch{1}{2}\right)\cdot \pi = \left( k+ \bruch{1}{2}\right)\cdot \pi = (2k+1)\bruch{\pi}{2}[/mm]
und der Tangens ist nicht definiert.
Liefert der erste Faktor alle ungeraden Zahlen als Nullstellen. der zweite eliminiert daraus alle Vielfachen von [mm] p_2 [/mm] = 3. Nächste ungerade Zahl ist 5, also fallen jetzt durch den dritten Faktor alle Vielfachen von [mm] p_3 [/mm] = 5 weg. Jetzt der vierte Faktor, der filtert alle Vielfachen von 7. Dann käme 9, das fällt aber raus weil Vielfaches von 3 usw.
Ob die Intervallgrenzen immer so tun wie sie sollen hab ich mir noch nicht genau überlegt, könnte aber funktionieren. Dann liefert also jedes [mm] f_n [/mm] als einzige Nullstelle im entsperchenden Intervall gerade die (n-1)-te Primzahl, als Vereinigung kriegt man alle.
Fazit: Die Behauptung scheint so zu stimmen, etwas großartig neues über die Primzahlverteilung haben wir aber nicht gelernt :-(
Gruß
piet
EDIT: Link eingefügt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Fr 23.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Also wenn ich das richtig sehe, dann liefert deine Konstruktion [mm] $p_n=3$ [/mm] für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$. Das hast du bestimmt nicht so beabsichtigt.
EDIT: Ah, doch nicht, stimmt. Leider hast du irreführenderweise geschrieben, dass dein [mm] $f_n$ [/mm] auf ganz [mm] $I_n$ [/mm] definiert ist. Dem ist aber nicht so, das ist ja gerade der Witz an der Konstruktion. Alles irgendwie rätselhaft umständlich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Dirk....
1. Primzahlen sind nun mal "rätselhaft umständlich" und
2. Was willst Du mir damit sagen ?
Ich habe an diesem Problem wirklich eine lange Zeit gesessen.Vielleicht ist die Formulierung hier und da etwas schwamig.
Versuch die Behauptung einmal numerisch (Mathematica,Maple...) zu untersuchen !
P.S. Die Menge [mm]I_n[/mm] ist doch gerade ein "Intervall" was von [mm]n[/mm] abhängt !!!!
Hinweis: [mm]\tan\left(\bruch{(x+1)\pi}{2}\right)[/mm] besitzt genau dann eine Definitionslücke, wenn [mm]x\in \{2n\}_{n\in\IN}[/mm]
Gruß Mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 23.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Also nochmal:
Deine Formulierung oben, dass [mm] $f_n$ [/mm] auf ganz [mm] $I_n=\{ x:\;p_{n-1}\leq x
Und ich erkenne einfach nicht, was die Einführung des Tangens denn jetzt für Vorteile bringt? Bis jetzt sehe ich nur Nachteile in Definitionslücken, aber ich lass mich gern belehren durch überzeugende Argumente.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo mal wieder 
Das interessante an dieser Funktion ist:
Stellt Euch vor, man nimmt eine beliebige Zahl und möchte überprüfen, ob diese Zahl prim ist (z.B. [mm]a=567843567[/mm]).
An dieser Stelle benötigt man die Kenntnis über eine Primzahl [mm]p_k[/mm] mit [mm]p_k^2>a[/mm].
Benutzen wir dann das Intervall [mm][p_k,p_k^2)[/mm] für die Funktion [mm]f_k[/mm] und setzen [mm]x=a[/mm], dann wird [mm]f_k(a)=0[/mm], wenn [mm]a[/mm] Primzahl ist. Ist [mm]a[/mm] keine Primzahl, dann ist [mm]f_k[/mm] nicht definiert.
Gruß erstmal....Mark
Anmerkung: [mm]a[/mm] ist im übrigen keine Primzahl !
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"Vorlesungen machen den Verstand träge und vermindern die Fähigkeit zu kreativem Denken....." (John Nash)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Fr 23.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hallo mal wieder
>
> Das interessante an dieser Funktion ist:
>
> Stellt Euch vor, man nimmt eine beliebige Zahl und möchte
> überprüfen, ob diese Zahl prim ist (z.B. [mm]a=567843567[/mm]).
> An dieser Stelle benötigt man die Kenntnis über eine
> Primzahl [mm]p_k[/mm] mit [mm]p_k^2>a[/mm].
> Benutzen wir dann das Intervall [mm][p_k,p_k^2)[/mm] für die
> Funktion [mm]f_k[/mm] und setzen [mm]x=a[/mm], dann wird [mm]f_k(a)=0[/mm], wenn [mm]a[/mm]
> Primzahl ist. Ist [mm]a[/mm] keine Primzahl, dann ist [mm]f_k[/mm] nicht
> definiert.
>
...auf konventionellem Weg müsste man erstmal alle Primzahlen bis einschließlich [mm] p_k [/mm] bestimmen - das musst Du auch machen, sonst kannst Du ja [mm] f_k [/mm] nicht berechnen. Dann müsste man prüfen, ob a durch irgend eines der [mm] p_i [/mm] teilbar ist - was wahrscheinlich weniger aufwändig ist, als [mm] f_k [/mm] an der Stelle a auszuwerten.
> Gruß erstmal....Mark
>
>
> Anmerkung: [mm]a[/mm] ist im übrigen keine Primzahl !
...wie man an der Quersumme 51 leicht sieht.
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> "Vorlesungen machen den Verstand träge und vermindern die
> Fähigkeit zu kreativem Denken....." (John Nash)
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wenn ich das richtig verstanden habe, die min. Nullstellen von [mm] f_{n} [/mm] auf jedem der Intervale ergeben die Primzahlen. Die min. Nullstelle ist aber immer die von dem "dünnsten" tangens, also von dem ersten mit p1=2?
Heee....... wozu das ganze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo viktory_hh !!!
was ist "dünnste" Tangens
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hat sich schon erledigt, ich habe falsch gedacht. der "dünnste Tanges wäre der erste in jdem [mm] f_k, [/mm] also der mit p=2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 23.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> wenn ich das richtig verstanden habe, die min. Nullstellen
> von [mm]f_{n}[/mm] auf jedem der Intervale ergeben die Primzahlen.
> Die min. Nullstelle ist aber immer die von dem "dünnsten"
> tangens, also von dem ersten mit p1=2?
Da hast Du schon recht - die Nullstellen kommen immer aus dem Faktor mit [mm] p_i [/mm] = 2, andere Nullstellen in [mm] \IN [/mm] gibt es nicht.
Allerdings werden durch jeden hinzukommenden Faktor immer ein Kategorie von Nullstellen durch Definitionslücken in späteren Faktoren eliminiert - und die erste übrig gebliebene Nullstelle von [mm] f_k [/mm] ist dann die nächstegrößere Primzahl nach [mm] p_{k-1}.
[/mm]
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
O.K. !!!!
Da hast du recht.......
Ich dachte immer, der Sinn an der Erforschung der Primzahlen liegt in innovativen Gedanken und nicht in sturem Vorlesungsstoff, der uns zwingt, Denkweisen anderer Leute fortzuführen und somit über die selben Probleme zu stolpern, wie einst sämtliche berühmte Mathematiker.
Ich will damit nur sagen, dass es manchmal vielleicht sinnvoll ist, den Pfad der uns gegebenen mathematischen Struktur zu verlassen, und sich seinen eigenen Weg durch die unbekannte Welt der Zahlen zu bahnen. Denn vor einiger Zeit waren es z.B. die Pythagoräer, die durch die Entdeckung der Irrationalität in eine Weltanschauungskrise fielen.
Oder nehmen wir den Körper mit 1+1=0. Hätte man das einigen Leuten vor ein paar hundert Jahren erzählt, dann hätten sie dich vielleicht verbrannt, oder so.
Aber nun zurück....
Vielleicht solltet Ihr/Du die Funktion mal Plotten. Die Funktion hat wundersame Eigenschaften.
Gruß Mark
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"Gott hat uns die natürlichen Zahlen gegeben, alles andere ist Menschenwerk" (Kronecker)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Fr 23.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Anmerkung: Wenn du auf meinen Hinweis, dass [mm] $I_n$ [/mm] nicht der Definitionsbereich der Funktion ist, nicht eingehen willst, dann verlinke deinen Beitrag doch bitte etwas anders im Thread.
Ich verstehe ja deine Begeisterung über diese eigene Idee, aber du musst dich auch mit kritischen Anmerkungen anderer auseinandersetzen, wenn du von der Fachwelt anerkannt werden willst. Dieses "Ich-bin-innovativ-und-ihr-nicht-also-kann-ich-euch-ignorieren" kommt gar nicht gut an, das kannst du mir ruhig glauben.
Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Dirk......
Also das sollte von mir jetzt nicht arrogant/ignorant rüberkommen. Sorry.
Ich betrachte die Funktion eigentlich nicht als solche.Und das Intervall ist ja auch kein richtiges Intervall.Es handelt sich bei [mm]I_n[/mm] um eine Menge, aus der man sich die [mm]x[/mm]-Werte für die Funktion holt.
Vielleicht kannst Du mir ein Tip geben, wie man das Intervall einschränken könnte, damit die Definitionslücken nicht im Intervall liegen.
(Für kleine [mm]n[/mm] geht auch das offene Intervall [mm](p_{i-1},2*p_{i-1})[/mm])
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