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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:18 Mi 20.07.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | [mm] Seien$p,q_1,q_2,q_3$ [/mm] ungerade primzahlen, [mm] $\alpha \ge [/mm] 3$ eine ungerade ganze Zahl
Hat das Gleichungssystem
$ [mm] q_1q_2q_3 [/mm] = [mm] p^{\alpha}+2$
[/mm]
$ [mm] q_1q_2+q_1q_3+q_2q_3 -(q_1+q_2+q_3) [/mm] = [mm] p^{\alpha -1}-1 [/mm] $
Lösungen oder nicht? |
Hab versuch mit Mittelungleichungen irgendeinen Widerspruch herzuleiten, was mit aber leider nicht gelang.
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Hallo wauwau,
ich sehe mal wieder nicht, warum das nicht möglich sein sollte.
> Seien[mm]p,q_1,q_2,q_3[/mm] ungerade primzahlen, [mm]\alpha \ge 3[/mm] eine
> ungerade ganze Zahl
> Hat das Gleichungssystem
> [mm]q_1q_2q_3 = p^{\alpha}+2[/mm]
> [mm]q_1q_2+q_1q_3+q_2q_3 -(q_1+q_2+q_3) = p^{\alpha -1}-1[/mm]
>
> Lösungen oder nicht?
>
> Hab versuch mit Mittelungleichungen irgendeinen Widerspruch
> herzuleiten, was mit aber leider nicht gelang.
Das verstehe ich nicht. Wie sollten Mittelungleichungen hierbei helfen?
Jedenfalls gibt es nur drei mögliche Lösungskategorien, wie sich bei einer Betrachtung [mm] \mod{3} [/mm] herausstellt:
1) [mm] p=3,\quad q_1,\ q_2,\ q_3\equiv -1\mod{6}
[/mm]
2) [mm] p\equiv 1\mod{3},\quad q_1=3,\ q_2,\ q_3\equiv -1\mod{6}
[/mm]
3) [mm] p\equiv 2\mod{3},\quad q_1,\ q_2,\ q_3\equiv 1\mod{6}, \alpha\equiv 1\mod{2}
[/mm]
Ob man aber tatsächlich Zahlen findet, die die Bedingungen erfüllen, ist nicht zu sagen. Wie gesagt, dagegen spricht m.E. nichts.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Do 21.07.2011 | | Autor: | wauwau |
ad Mittelungleichungen
[mm] $q_1q_2q_3$ [/mm] ist ja [mm] $GM^3$
[/mm]
und in der zweiten gleichung
sind die ersten drei Terme ja im wesentlichen (bis auf Potenzen und drittel) das 2. Symmetrische Mittel und die letzten 3 Terme das dreifache arithmetische Mittel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Do 21.07.2011 | | Autor: | wauwau |
> 1) [mm]p=3,\quad q_1,\ q_2,\ q_3\equiv -1\mod{6}[/mm]
dieser Fall ist leicht auszuschließen, wenn du die zusammengefassten beiden Gleichungen so darstellst:
[mm] (q_1-1)(q_2-1)(q_3-1)=p^a-p^{a-1}+2
[/mm]
und sie mod(6) betrachtest.
Für a ungerade ist die rechte Seite außerdem durch p+1 teilbar...
aber das hilft mir momentan auch nicht weiter...
>
> 2) [mm]p\equiv 1\mod{3},\quad q_1=3,\ q_2,\ q_3\equiv -1\mod{6}[/mm]
>
> 3) [mm]p\equiv 2\mod{3},\quad q_1,\ q_2,\ q_3\equiv 1\mod{6}, \alpha\equiv 1\mod{2}[/mm]
>
> Ob man aber tatsächlich Zahlen findet, die die Bedingungen
> erfüllen, ist nicht zu sagen. Wie gesagt, dagegen spricht
> m.E. nichts.
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 22.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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