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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 24.01.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine Lösung der DGL
[mm]y' = \wurzel{(1-y^2) (x-1)} [/mm] mit anfangswert (1,0) |
Also... zuerst forme ich die gleichung um in folgende form
[mm]y' = f(x) * g(x) [/mm]
das sieht dann so aus :
[mm]y' = \wurzel{x-1} * \wurzel{1-y^2} [/mm]
Somit folgt :
[mm]f(x) = \wurzel{x-1} [/mm]
und :
[mm]g(x) = \wurzel{1-y^2} [/mm]
[mm]F(x) = \integral_{1}^{x}{f(t) }dt} = \integral_{1}^{x}{\wurzel{t-1 dt}} = \bruch{2}{3} * (x-1)^{\bruch{3}{2}} [/mm]
[mm]G(x) = \integral_{0}^{x}{{\bruch{1}{g(t)} dt}} = \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{ \wurzel{1-t^2}} dt}} = \arcsin(x) [/mm]
dann das ganze in die Formel [mm] G(\phi (x) ) = F(x) [/mm] einsetzten :
[mm] \arcsin(\phi (x) ) = \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} [/mm]
aufgeöst nach [mm]\phi (x)[/mm]:
[mm]\phi (x) = \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) [/mm]
so das soll nun mal die gleichung sein .....
duch einsetzten von 1 :
[mm]\phi (1) = \sin ( \bruch{2}{3} (1-1)^{\bruch{3}{2}} ) = 0 [/mm]
stimmt das mit den anfangswerten schonmal....
nun aber prüfen ob die ausgangsgleichung so auch aufgeht :
[mm]\phi '(x) = \cos ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) * \wurzel{x-1} [/mm]
linke seite : [mm]y ' = \phi ' (x)[/mm]
rechte seite : [mm]\wurzel{x-1} * \wurzel{1 - ( \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) ) ^2} [/mm]
also un nun sollte ja die rechte seite gleich der linken sein :-/
wie bekomme ich das [mm] 1-sin^2 [/mm] so umgeformt das es gleich dem cosinus ist ? :-D
Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen ?
gruß noveX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo novex,
> Bestimmen sie eine Lösung der DGL
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> [mm]y' = \wurzel{(1-y^2) (x-1)}[/mm] mit anfangswert (1,0)
> Also... zuerst forme ich die gleichung um in folgende form
>
> [mm]y' = f(x) * g(x)[/mm]
>
> das sieht dann so aus :
>
> [mm]y' = \wurzel{x-1} * \wurzel{1-y^2}[/mm]
>
> Somit folgt :
> [mm]f(x) = \wurzel{x-1}[/mm]
>
> und :
> [mm]g(x) = \wurzel{1-y^2}[/mm]
>
> [mm]F(x) = \integral_{1}^{x}{f(t) }dt} = \integral_{1}^{x}{\wurzel{t-1 dt}} = \bruch{2}{3} * (x-1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]G(x) = \integral_{0}^{x}{{\bruch{1}{g(t)} dt}} = \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{ \wurzel{1-t^2}} dt}} = \arcsin(x)[/mm]
>
> dann das ganze in die Formel [mm]G(\phi (x) ) = F(x)[/mm] einsetzten
> :
>
> [mm]\arcsin(\phi (x) ) = \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> aufgeöst nach [mm]\phi (x)[/mm]:
>
> [mm]\phi (x) = \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} )[/mm]
Das ist die Lösung für [mm]\vmat{y}\le 1, \ x \ge 1[/mm]
Wie gefordert, ist das eine Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so das soll nun mal die gleichung sein .....
>
> duch einsetzten von 1 :
>
> [mm]\phi (1) = \sin ( \bruch{2}{3} (1-1)^{\bruch{3}{2}} ) = 0[/mm]
>
> stimmt das mit den anfangswerten schonmal....
>
> nun aber prüfen ob die ausgangsgleichung so auch aufgeht :
>
> [mm]\phi '(x) = \cos ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) * \wurzel{x-1}[/mm]
>
> linke seite : [mm]y ' = \phi ' (x)[/mm]
>
> rechte seite : [mm]\wurzel{x-1} * \wurzel{1 - ( \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) ) ^2}[/mm]
>
>
> also un nun sollte ja die rechte seite gleich der linken
> sein :-/
>
> wie bekomme ich das [mm]1-sin^2[/mm] so umgeformt das es gleich dem
> cosinus ist ? :-D
Es gilt der trigonometische Pythagoras:
[mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
>
> Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen
> ?
>
> gruß noveX
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 24.01.2011 | | Autor: | novex |
> Es gilt der trigonometische Pythagoras:
>
> [mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
>
>
> >
> > Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen
> > ?
> Gruss
> MathePower
Mannnnnn o mannn  einfacher gehts ja gar nicht ^^ wie kann ich nur so blind sein .... xD
Danke schön....
gruß noveX
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