Problem Partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mo 18.07.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm]F(x)=\int e^x \cdot sin(2x) \ dx[/mm] |
Liebe alle,
ich habe mal wieder ein Problem eine Aufgabe zu verstehen.
nach zweimaliger partieller Integration komme ich auf:
[mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) - \int e^x \cdot (-4sin(2x)) \ dx \right)[/mm]
Jetzt könnte ich doch wieder partiell integrieren oder darf ich jetzt [mm]-4 \cdot e^x[/mm] vor das Integral ziehen? Also:
[mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) +4 e^x \int sin(2x) \ dx \right) [/mm]
Komme hier nicht mehr weiter ohne eure Hilfe...
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Moin,
> [mm]F(x)=\int e^x \cdot sin(2x) \ dx[/mm]
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> Liebe alle,
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> ich habe mal wieder ein Problem eine Aufgabe zu verstehen.
>
> nach zweimaliger partieller Integration![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") komme ich auf:
>
> [mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) - \int e^x \cdot (-4sin(2x)) \ dx \right)[/mm]
Das stimmt schon nicht. Wenn du [mm] u'(x)=\sin(2x) [/mm] setzt, dann ist [mm] u(x)=\frac{-\cos(2x)}{2}
[/mm]
EDIT: Ja, man kann natürlich auch [mm] u'=e^x, u=e^x, v=\sin(2x), v'=2\cos(2x) [/mm] setzen. Da war ich gerade zu naiv um dies zu erkennen.
>
> Jetzt könnte ich doch wieder partiell integrieren oder
> darf ich jetzt [mm]-4 \cdot e^x[/mm] vor das Integral ziehen?
Nein, warum sollte das gehen?
> Also:
>
> [mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) +4 e^x \int sin(2x) \ dx \right)[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Komme hier nicht mehr weiter ohne eure Hilfe...
nach zweimaliger partieller Integration hast du rechts ein Integral der Form [mm] $c\int e^x\sin(2x) [/mm] dx$, wobei c konstant ist, stehen. Subtrahiere dies von der Gleichung.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 18.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Ich habs mal bissle anders gemacht:
[mm]u'=e^x [/mm] und [mm]u=e^x [/mm] [mm]v=sin(2x)[/mm] und [mm]v'=2cos(2x)[/mm]
nach der Formel [mm]u \cdot v - \int u \cdot v'[/mm] folgt:
[mm]e^x \cdot sin(2x) - \int e^x \cdot 2cos(2x) \ dx[/mm] nun ist
[mm]u'=e^x[/mm] und [mm]u=e^x[/mm] [mm]v=2cos(2x)[/mm] und [mm]v'=-4sin(2x)[/mm] , es folgt:
[mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) - \int e^x \cdot (-4sin(2x)) \ dx \right)[/mm] bzw. :
[mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) +4 \int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)[/mm]
Ich komme einfach nicht weiter, sorry...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 19.07.2011 | | Autor: | lzaman |
ich hab die Idee schlechthin...![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
nun ist [mm]e^x \cdot sin(2x)-\left(e^x \cdot 2cos(2x) +4 \int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)
= e^x \cdot sin(2x)-e^x \cdot 2cos(2x) - 4 \int e^x \cdot sin(2x) \ dx[/mm]
und da [mm]F(x)=\int e^x \cdot sin(2x) \ dx[/mm] ist, folgt:
[mm]5 \cdot F(x)=e^x \cdot sin(2x) - e^x \cdot 2cos(2x)[/mm] und daher ist:
[mm]F(x)=\bruch{e^x}{5} \cdot ( \ sin(2x) - 2cos(2x) \ )[/mm]
Was haltet ihr davon?
ich hoffe ich darf Integrale so zusammen fassen:
[mm]\int f(x) \ dx + \int f(x) \ dx = 2 \cdot \int f(x) \ dx [/mm]
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich schreib ich nichts anderes als der vorige post
Du hast:
[mm] \int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)=e^x \cdot sin(2x)-e^x \cdot 2cos(2x) -4 \int e^x \cdot sin(2x) \ dx
\[/mm]
jetzt addiere auf beiden Seiten $4 [mm] \int e^x \cdot [/mm] sin(2x) \ dx $
dann hast du $5* [mm] \int e^x \cdot [/mm] sin(2x) \ dx =.....$
das passiert bei part. Integration mit sin und cos häufig!
Nächstes mal siehst dus dann schnell!
Aber schlecht ist, dass du nicht gesagt hast, was du am vorigen post nicht verstanden hast, da stand nur c statt 4!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Di 19.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Danke euch. Bin auf die letzte Lösung ja selber gekommen und finde diese sehr elegant. Mit viel Übung sieht man so etwas immer schneller.
Bis bald!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Wenn du bei der partiellen Integration u' und v wählst und das zu nichts führt, solltest du es anders rum probieren. Siehe meine Antwort.
mfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Es gibt bestimmt eine elegantere Lösung, aber es geht auch mit zweimaliger Anwedung der partiellen Integration.
Es gilt : [mm] $\int [/mm] u'*v [mm] dx=u*v-\int [/mm] u*v' dx$
Setze [mm] u'=\sin(2x) [/mm] und [mm] v=e^x. [/mm] Dann folgt mit der partiellen Integration :
[mm] \int \sin(2x)e^x dx=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x-\int-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^xdx=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x+\bruch{1}{2}\int\\cos(2x)e^xdx
[/mm]
Setze nun [mm] u'=\cos(2x) [/mm] und [mm] v=e^x. [/mm] Dann folgt mit der partiellen Integration :
[mm] \int\\cos(2x)e^xdx=\bruch{1}{2}\sin(2x)e^x-\int\ \bruch{1}{2}\sin(2x)e^xdx=\bruch{1}{2}\sin(2x)e^x-\bruch{1}{2}\int\\sin(2x)e^xdx
[/mm]
Daraus ergibt sich :
[mm] \int \sin(2x)e^x dx=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}\sin(2x)e^x-\bruch{1}{2}\int\\sin(2x)e^xdx)=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x+\bruch{1}{4}\sin(2x)e^x-\bruch{1}{4}\int\sin(2x)e^xdx
[/mm]
Was kannst du nun tun ?
MfG
edit : Die andere Richtung geht ja auch =) Nun gut hier nochmal das Ergebnis : [mm] \int \sin(2x)e^x dx=\bruch{1}{5}e^x(\sin(2x)-2\cos(2x))+C.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Di 19.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Zur Übung antworte ich gerne auf die Frage
> Daraus ergibt sich :
>
> [mm]\int \sin(2x)e^x dx=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}\sin(2x)e^x-\bruch{1}{2}\int\\
sin(2x)e^xdx)=-\bruch{1}{2}\cos(2x)e^x+\bruch{1}{4}\sin(2x)e^x-\bruch{1}{4}\int\sin(2x)e^xdx[/mm]
>
> Was kannst du nun tun ?
Nun auf beiden Seiten mit 4 multiplizieren und man hat wieder :
[mm]\int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)=e^x \cdot sin(2x)-e^x \cdot 2cos(2x) -4 \int e^x \cdot sin(2x) \ dx[/mm] daher ist:
[mm]5 \cdot \int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)=e^x \cdot sin(2x)-e^x \cdot 2cos(2x) [/mm] also:
[mm]\int e^x \cdot sin(2x) \ dx \right)=\bruch{e^x}{5} \cdot ( \ sin(2x)-e^x \cdot 2cos(2x) \ ) [/mm]
Danke nochmals für eure Mühe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ist $e^xsin(2x)=Im(e^{(1+2i)x})$ somit ist
$F(x)= Im(\integral_{}^{}e^{(1+2i)x} dx})= Im(\bruch{1}{1+2i}e^{(1+2i)x})+C$
FRED
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