Problem bei Integration < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Ich habe ein Problem mit dem folgenden Integral:
[mm]\integral_{}^{} \bruch{ax + b}{x^2 + 2cx + d}\, dx [/mm] für [mm] a, b, c , d\in\IR, c^2 < d [/mm]
Es soll mittels Substitution gelöst werden und es ist auch angeben was man ersetzen soll. Nämlich: [mm] t = \bruch{x + c}{ \wurzel{d - c^2}} [/mm]
Ich habe bereits versucht den Nenner durch quadratische Ergänzung auf die Form zu bringen, so das ich [mm] t [/mm] einsetzen kann. Aber das Integral wird eher komplizierter als einfacher.
Über einen Tipp, was man noch versuchen könnte, würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hi!
>
> Ich habe ein Problem mit dem folgenden Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{ax + b}{x^2 + 2cx + d}\, dx[/mm] für
> [mm]a, b, c , d\in\IR, c^2 < d[/mm]
>
> Es soll mittels Substitution gelöst werden und es ist auch
> angeben was man ersetzen soll. Nämlich: [mm]t = \bruch{x + c}{ \wurzel{d - c^2}}[/mm]
>
> Ich habe bereits versucht den Nenner durch quadratische
> Ergänzung auf die Form zu bringen, so das ich [mm]t[/mm] einsetzen
> kann. Aber das Integral wird eher komplizierter als
> einfacher.
>
> Über einen Tipp, was man noch versuchen könnte, würde ich
> mich freuen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo.
Hast Du es schonmal andersherum probiert?
Das heißt [mm]t = \bruch{x + c}{ \wurzel{d - c^2}} \Rightarrow x= t\wurzel{d - c^2}-c[/mm].
Allerdings darfst Du auch nicht vergessen, $dx= [mm] \wurzel{d - c^2}dt$ [/mm] einzusetzen...
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Danke für deinen Tipp. Ich hab' es also mal andersherum probiert und einfach für [mm] x [/mm] das eingesetzt was du mir geschrieben hattest. Dann erhalte ich doch:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{a [t\wurzel{d - c^2} - c]+b}{[t\wurzel{d - c^2} - c]^2 + 2c[t\wurzel{d - c^2} - c] + d} \wurzel{d - c^2} \, dt [/mm]
Nach ein bißchen umformen habe ich schließlich das erhalten:
[mm] \integral_{}^{} \bruch {a [t\wurzel{d - c^2} - c]+b}{t^2(d - c^2) - c^2 + d} \wurzel{d - c^2} \, dt [/mm]
Irgendwie erscheint mir das nicht wirklich einfacher. Vielleicht habe ich aber auch einfach nur falsch umgeformt oder mich verrechnet. Ich hab schon einiges probiert um mit diesem Ausdruck etwas zu machen, aber irgendwie schaffe ich es nicht, das so zu vereinfachen, dass ich das Integral berechnen kann.
Wäre lieb, wenn ich da noch nen kleinen Anstoss bekomme.
Danke schon mal.
|
|
|
| |
|
Hallo Paige,
> [mm]\integral_{}^{} \bruch {a [t\wurzel{d - c^2} - c]+b}{t^2(d - c^2) - c^2 + d} \wurzel{d - c^2} \, dt[/mm]
forme hier weiter um:
[mm]\begin{gathered}
\int {\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x^{2} \; + 2\;c\;x\; + \;d}}\;dx\; = \;\int {\frac{{a\;\left( {x\; + \;c} \right)\; + \;\left( {b\; - \;a\;c} \right)}}
{{\left( {x\; + \;c} \right)^{2} \; + \;\left( {d\; - \;c^{2} } \right)}}\;dx} } \hfill \\
= \;\int {\frac{{a\;\sqrt {d\; - \;c^2 } \;t\; + \;\left( {b\; - \;a\;c} \right)}}
{{\left( {d\; - \;c^2 } \right)\;t^2 \; + \;\left( {d\; - \;c^2 } \right)}}\;} \sqrt {d\; - \;c^2 } \;dt \hfill \\
= \;\frac{1}
{{\sqrt {d\; - \;c^{2} } }}\;\int {\frac{{a\;\sqrt {d\; - \;c^{2} } \;t\; + \;\left( {b\; - \;a\;c} \right)}}
{{t^{2} \; + \;1}}\;dt} \hfill \\
= \;\frac{1}
{{\sqrt {d\; - \;c^{2} } }}\;\int {\frac{{a\;\sqrt {d\; - \;c^{2} } \;t}}
{{t^{2} \; + \;1}}\; + \;\frac{{\left( {b\; - \;a\;c} \right)}}
{{t^{2} \; + \;1}}} \;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Spalte den Bruch in zwei Teile auf (siehe oben). Der erste Summand hat die Gestalt Ableitung durch Funktion. Ich denke, jetzt kannst Du das Integral lösen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 24.04.2005 | | Autor: | Paige |
HI!
Es hat geklappt. Vielen Dank für eure Hilfe.
Paige
|
|
|
|
