Problem bei Steckbriefübungen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 15.10.2006 | | Autor: | lauravr |
| Aufgabe | 1) Eine Funktion 4. Ordnung hat im Ursprung einen Wendepunkt und für x=6 Tangenten parallel zu x-Achse. Sie schneidet die x-Achse ein zweites Mal mit der Steigung -8 .
2) Eine Funktion 4.Ordnung hat im Ursprung und im Wendepunkt P(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse. |
Hallo alle zusammen...
hab mit obigen Aufgaben ein paar Probleme. Hier meine Ansätze
Zu 1)
WP(0/0) -> f(0)=0, f''(0)=0
P(6/f(6)) -> f'(6)=0
Q(x/0) -> f'(x)=-8
Daraus bekomme ich folgende Gleichungen:
e=0
c=0
864a+108b+d=0
Und nu? Irgendwie fehlen da ja Gleichungen. Wie soll ich denn die Steigung -8 an der Nullstelle "verarbeiten"?
Könnte vllt. gemeint sein, dass auch am Wendepunkt eine waagerechte Tangente ist?
Zu2)
Ich hab die Aufgabe zig mal gerechnet, hatte jedes mal andere Werte raus. Und nie haben sie gepasst (hab es mit Geogebra überprüft).
Meine Gleichungen am Anfang waren
2= 16a - 8b +4c
0=-32a + 12b - 4c
0 = 48a - 12b +2c
0=d
0=e
a = [mm] \bruch{5}{24} [/mm] , b = [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] , c = -13
Nach Geogebra geht die Funktion dann jedoch nicht durch den Punkt (-2/2), geschweige denn, dass dort ein WP ist.
...?
Lg, auf Hilfe hoffend, Laura ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 So 15.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Laura
> 1) Eine Funktion 4. Ordnung hat im Ursprung einen
> Wendepunkt und für x=6 Tangenten parallel zu x-Achse. Sie
> schneidet die x-Achse ein zweites Mal mit der Steigung -8
> .
>
> 2) Eine Funktion 4.Ordnung hat im Ursprung und im
> Wendepunkt P(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse.
> Hallo alle zusammen...
>
> hab mit obigen Aufgaben ein paar Probleme. Hier meine
> Ansätze
>
> Zu 1)
> WP(0/0) -> f(0)=0, f''(0)=0
> P(6/f(6)) -> f'(6)=0
> Q(x/0) -> f'(x)=-8
>
Zu 1)
(Anmerkung: Ich finde diese Aufgabe extrem schwer)
[mm] f(x)=ax^{4}+bx³+cx²+dx+e
[/mm]
Also: Wendepunkt im Ursprung:
Daraus kann ich zwei Bedingungen folgern.
[mm] \red{1)} [/mm] f(0)=0 Weil der WP ja auf dem Graphen [mm] liegt)\Rightarrow [/mm] e=0
[mm] \red{2)} [/mm] f''(0)=0.
Tangente Parallel.
[mm] \Rightarrow \red{3)}f'(6)=0 \Rightarrow [/mm] c=0
Das heisst, [mm] f(x)=ax^{4}+bx³+dx
[/mm]
Jetzt suchst du eine weitere Nullstelle:
Also
[mm] ax^{4}+bx³+dx=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x(ax³+bx²+d)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder ax³+bx²+d=0 (**)
Das heisst, 0 ist ein Sattelpunkt
[mm] \Rightarrow \red{4)} [/mm] f'(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
Da du jetzt weisst, dass d=0 kann ich aus (**)
folgern, dass ax³+bx²=0 [mm] \gdw [/mm] x²(ax+b)=0
Das heisst, [mm] x_{0}=-\bruch{b}{a} [/mm] ist eine weitere Nullstelle
Also [mm] ax_{0}³+bx_{0}²=a(-\bruch{b}{a})³+b(-\bruch{b}{a})²=0
[/mm]
Das heisst.
[mm] -\bruch{ab³}{a³}+\bruch{ab²}{a²}=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{b³}{a}=\bruch{b²}{a}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b³=b² Also bleiben für b nur zwei Möglichkeiten, nämlich 0 und 1. Null fällt weg, weil f(x) zwei Nullstellen
haben soll, also b=1
Jetzt kommt die -8 ins Spiel. Du weisst, dass [mm] -\bruch{b}{a} =-\bruch{1}{a} [/mm] die zweite Nullstelle ist.
Jetzt gilt [mm] f'(-\bruch{1}{a})=-8
[/mm]
Jetzt musst du daraus nur noch a bestimmen.
Zu 2)
dies ist deutlich einfacher.
W(-2/2)
[mm] \Rightarrow [/mm]
f(-2)=2
f''(-2)=0
Tangenten Parallel im Ursprung
f(0)=0
f''(0)=0
Tangenten Parall in W
f''(-2)=0
Hiermit hast du fünf Bedingungen für fünf Variablen.
Hilft das weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 15.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> Zu 1)
>
> (Anmerkung: Ich finde diese Aufgabe extrem schwer)
>
> [mm]f(x)=ax^{4}+bx³+cx²+dx+e[/mm]
>
> Also: Wendepunkt im Ursprung:
> Daraus kann ich zwei Bedingungen folgern.
> [mm]\red{1)}[/mm] f(0)=0 Weil der WP ja auf dem Graphen
> [mm]liegt)\Rightarrow[/mm] e=0
> [mm]\red{2)}[/mm] f''(0)=0.
>
> Tangente Parallel.
>
> [mm]\Rightarrow \red{3)}f'(6)=0 \Rightarrow[/mm] c=0
>
> Das heisst, [mm]f(x)=ax^{4}+bx³+dx[/mm]
> Jetzt suchst du eine weitere Nullstelle:
> Also
> [mm]ax^{4}+bx³+dx=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x(ax³+bx²+d)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 oder ax³+bx²+d=0 (**)
> Das heisst, 0 ist ein Sattelpunkt
> [mm]\Rightarrow \red{4)}[/mm] f'(0)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] d=0
Also hat der Wendepunkt eine waagerechte Tangente, was nur schwer aus der Aufgabenstellung zu erkennen war... (oder wie kommst du darauf?)
> Da du jetzt weisst, dass d=0 kann ich aus (**)
> folgern, dass ax³+bx²=0 [mm]\gdw[/mm] x²(ax+b)=0
> Das heisst, [mm]x_{0}=-\bruch{b}{a}[/mm] ist eine weitere
> Nullstelle
>
> Also [mm]ax_{0}³+bx_{0}²=a(-\bruch{b}{a})³+b(-\bruch{b}{a})²=0[/mm]
> Das heisst.
> [mm]-\bruch{ab³}{a³}+\bruch{ab²}{a²}=0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{b³}{a}=\bruch{b²}{a}[/mm]
Müsste das nicht eigentlich [mm]\gdw \bruch{b³}{a²}=\bruch{b²}{a}[/mm] [mm] \gdw [/mm] b = a sein ?
> Jetzt kommt die -8 ins Spiel. Du weisst, dass [mm]-\bruch{b}{a} =-\bruch{1}{a}[/mm]
> die zweite Nullstelle ist.
Hier dann NST= [mm] \bruch{-a}{a} [/mm] = -1 ...
> Jetzt gilt [mm]f'(-\bruch{1}{a})=-8[/mm]
Und hier [mm]f'(-1)=-8[/mm] , oder vertu ich mich jetzt?
> Jetzt musst du daraus nur noch a bestimmen.
Trotzdem danke für die Hilfe, der Tipp mit der Nullstellenermittlung ist klasse ;) . Vielen Dank!
> Zu 2)
>
> dies ist deutlich einfacher.
>
> W(-2/2)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(-2)=2
> f''(-2)=0
>
> Tangenten Parallel im Ursprung
> f(0)=0
> f''(0)=0
>
> Tangenten Parall in W
> f''(-2)=0
Warum denn f''? (Nicht f', da es ja auf die Steigung (=0) ankommt?)
Lg Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 15.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> > Zu 1)
> >
> > (Anmerkung: Ich finde diese Aufgabe extrem schwer)
> >
> > [mm]f(x)=ax^{4}+bx³+cx²+dx+e[/mm]
> >
> > Also: Wendepunkt im Ursprung:
> > Daraus kann ich zwei Bedingungen folgern.
> > [mm]\red{1)}[/mm] f(0)=0 Weil der WP ja auf dem Graphen
> > [mm]liegt)\Rightarrow[/mm] e=0
> > [mm]\red{2)}[/mm] f''(0)=0.
> >
> > Tangente Parallel.
> >
> > [mm]\Rightarrow \red{3)}f'(6)=0 \Rightarrow[/mm] c=0
> >
> > Das heisst, [mm]f(x)=ax^{4}+bx³+dx[/mm]
> > Jetzt suchst du eine weitere Nullstelle:
> > Also
> > [mm]ax^{4}+bx³+dx=0[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] x(ax³+bx²+d)=0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 oder ax³+bx²+d=0 (**)
> > Das heisst, 0 ist ein Sattelpunkt
> > [mm]\Rightarrow \red{4)}[/mm] f'(0)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] d=0
>
> Also hat der Wendepunkt eine waagerechte Tangente, was nur
> schwer aus der Aufgabenstellung zu erkennen war... (oder
> wie kommst du darauf?)
P(0/0) soll ein Wendepunkt sein. Jetzt habe ich aber als Bedingung für die weitere Nullstellen bekommen, dass gelten soll: [mm] ax^{4}+bx³+dx=0\gdw [/mm] x=0
Das heisst, x=0 ist mehrfache Nullstelle oder ein Sattelpunkt. Jetzt weisst dui aber, dass es ein Wendepunkt ist, so dass nur noch der Sattelpunkt übrig bleibt. dieser hat auch eine waagerechte Tangente, also f'(0)=0
>
> > Da du jetzt weisst, dass d=0 kann ich aus (**)
> > folgern, dass ax³+bx²=0 [mm]\gdw[/mm] x²(ax+b)=0
> > Das heisst, [mm]x_{0}=-\bruch{b}{a}[/mm] ist eine weitere
> > Nullstelle
> >
> > Also [mm]ax_{0}³+bx_{0}²=a(-\bruch{b}{a})³+b(-\bruch{b}{a})²=0[/mm]
> > Das heisst.
> > [mm]-\bruch{ab³}{a³}+\bruch{ab²}{a²}=0[/mm]
> > [mm]\gdw \bruch{b³}{a}=\bruch{b²}{a}[/mm]
>
> Müsste das nicht eigentlich [mm]\gdw \bruch{b³}{a²}=\bruch{b²}{a}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] b = a sein ?
>
Korrekt, sorry, mein Fehler
> > Jetzt kommt die -8 ins Spiel. Du weisst, dass [mm]-\bruch{b}{a} =-\bruch{1}{a}[/mm]
> > die zweite Nullstelle ist.
>
> Hier dann NST= [mm]\bruch{-a}{a}[/mm] = -1 ...
>
> > Jetzt gilt [mm]f'(-\bruch{1}{a})=-8[/mm]
>
> Und hier [mm]f'(-1)=-8[/mm] , oder vertu ich mich jetzt?
>
>
> > Jetzt musst du daraus nur noch a bestimmen.
>
> Trotzdem danke für die Hilfe, der Tipp mit der
> Nullstellenermittlung ist klasse ;) . Vielen Dank!
>
>
>
>
> > Zu 2)
> >
> > dies ist deutlich einfacher.
> >
> > W(-2/2)
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > f(-2)=2
> > f''(-2)=0
> >
> > Tangenten Parallel im Ursprung
> > f(0)=0
> > f''(0)=0
> >
> > Tangenten Parall in W
> > f''(-2)=0
>
> Warum denn f''? (Nicht f', da es ja auf die Steigung (=0)
> ankommt?)
>
Auch korrekt, natürlich f' ich habe einen Strich zuviel eingefügt.
>
>
>
> Lg Laura
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 So 15.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
zu aufgabe 2:
e=0
d=0
2=16a -8b +4c bzw. 1=8a -4b +2c
0=48a -12b +2c bzw. 0=24a -6b +c
0=-32a + 12b -4c bzw. 0=-8a + 3b -c
ich löse gleichung3 nach c auf und setze in die anderen beiden gleichungen ein:
c=8a +3b
usw.
a= [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
b=2
c=2
=> f(x)= [mm] \bruch{3}{8}x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 +x^2
[/mm]
Probe:
f(0)=0 ok
f'(0)=0 ok
f'(-2)=0 ok
f''(-2)=0 ok
q.e.d.
stunden später!! man kann sich hier sehr leicht verrechnen :-( 
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
