Problem mit LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem Ax = b über dem Körper
[mm] \IK [/mm] mit
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 3}
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
(a) Sei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR. [/mm] Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] gibt es
i.) genau eine Lösung
ii.) unendlich viele Lösungen
iii.) keine Lösung?
(b) Sei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IZ_{5}. [/mm] Für welche [mm] \alpha \in \IZ_{5} [/mm] gibt es
i.) genau eine Lösung
ii.) unendlich viele Lösungen
iii.) keine Lösung? |
Hallo zusammen!
Mir ärgert gerade wieder ein Gleichungssystem, bei dem ich an einer Stelle nicht so richtig weiterkomme... :'(
Das LGS als erweiterte Matirx:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & \alpha & 3 \\ 1 & \alpha & 3 & 2}
[/mm]
1. Zeile *(-2) zur 2. Zeile add. und 1. *(-1) zur 3. Zeile add. führt zu
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \alpha & 1 \\ 0 & 1-\alpha & 4 & 1}
[/mm]
Dann noch die 2. Zeile * -(1 + [mm] \alpha)
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 4 - ((2 + \alpha) * (\alpha - 1)) & \alpha + 2}
[/mm]
So. Nun wollte ich die letzte Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] auflösen.
4 - ((2 + [mm] \alpha) [/mm] * [mm] (\alpha [/mm] - 1)) = 2 + [mm] \alpha
[/mm]
4 - [mm] (2\alpha [/mm] - 2 + [mm] \alpha^{2} [/mm] - [mm] \alpha) [/mm] = 2 + [mm] \alpha
[/mm]
Also so wird da ja nichts gescheites rauskommen... Wenn ich keinen Fehler gemacht haben sollte *hust*, dann steht da am Ende 2 - [mm] \bruch{\alpha^2}{2} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Also wo liegt mein Fehler? Irgendwo muss doch einer sein...
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte :)
Mfg,
Helmut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 So 03.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
Also ich habe inzwischen noch weiter mit dem Gauß gearbeitet. Habe die 2. Zeile mit -(1 + [mm] \alpha) [/mm] multipliziert und habe nun praktisch eine Stufenform erreicht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 4 - (2 + \alpha) * (\alpha - 1)& \alpha + 2}
[/mm]
Und nun? Ein [mm] \alpha [/mm] suchen, dass dem jeweiligen Kriterium der Aufgabenstellung genügt? Dann bin ich aber zu blöd eines zu finden...
Kann mir das vielleicht nochmal jemand bitte kurz erklären? Ich komm wirklich nicht drauf :(
Mfg,
Helmut
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> Gegeben sei das Gleichungssystem Ax = b über dem Körper
> [mm]\IK[/mm] mit
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 3}[/mm]
>
> b = [mm]\pmat{ 1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> (a) Sei [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR.[/mm] Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] gibt es
> i.) genau eine Lösung
> ii.) unendlich viele Lösungen
> iii.) keine Lösung?
>
> (b) Sei [mm]\IK[/mm] = [mm]\IZ_{5}.[/mm] Für welche [mm]\alpha \in \IZ_{5}[/mm] gibt
> es
> i.) genau eine Lösung
> ii.) unendlich viele Lösungen
> iii.) keine Lösung?
> Hallo zusammen!
> Mir ärgert gerade wieder ein Gleichungssystem, bei dem ich
> an einer Stelle nicht so richtig weiterkomme... :'(
>
> Das LGS als erweiterte Matirx:
Hallo,
Du suchst also zuerst eine spezielle Lösung.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & \alpha & 3 \\ 1 & \alpha & 3 & 2}[/mm]
>
> 1. Zeile *(-2) zur 2. Zeile add. und 1. *(-1) zur 3. Zeile
> add. führt zu
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \alpha & 1 \\ 0 & 1-\alpha & 4 & 1}[/mm]
>
Dann noch die 2. Zeile * -(1 - [mm]\alpha)[/mm]
Hier mußt Du garantieren, daß Du nicht mit 0 multiplizierst, denn sonst ist die Umformung nicht äquivalent. Also hinschreiben: für (1 [mm] -\alpha) \not=0.
[/mm]
Den Fall (1 [mm] -\alpha) [/mm] =0 betrachtest Du später gesondert.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 4 - ((2 + \alpha) * (\alpha - 1)) & \alpha + 2}[/mm]
>
> So. Nun wollte ich die letzte Gleichung nach [mm]\alpha[/mm]
> auflösen.
>
> 4 - ((2 + [mm]\alpha)[/mm] * [mm](\alpha[/mm] - 1)) = 2 + [mm]\alpha[/mm]
> 4 - [mm](2\alpha[/mm] - 2 + [mm]\alpha^{2}[/mm] - [mm]\alpha)[/mm] = 2 + [mm]\alpha[/mm]
>
> Also so wird da ja nichts gescheites rauskommen... Wenn ich
> keinen Fehler gemacht haben sollte *hust*, dann steht da am
> Ende 2 - [mm]\bruch{\alpha^2}{2}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
<==> [mm] 4=a^2+2a, [/mm] und das wirst Du unter Kontolle kriegen, oder?
Im Falle [mm] K=\IR [/mm] mit quadratischer Ergänzung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
Danke für deine Antwort. War inzwischen aber zum Glück auch schon drauf gekommen. Für [mm] \IK [/mm] = [mm] \IZ_5 [/mm] war es im Prinzip ja dann auch dasselbe. So ziemlich ;)
Gruß,
Helmut
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