Problem mit einer Gleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 20.09.2012 | | Autor: | Crashday |
Hallo Leute,
ich soll zeigen, dass diese Gleichheit gilt:
[mm] (M_1 [/mm] \ [mm] M_2) \cup (M_2 [/mm] \ [mm] M_1) [/mm] = [mm] (M_1 \cup M_2) [/mm] \ [mm] (M_1 \cap M_2)
[/mm]
Mit der Wahrheitstafel habe ich das ohne Probleme hinbekommen. Zur Übung wollte ich das jetzt aber mal auf den direkten Weg versuchen. Ich schreibe mal auf, bis wohin ich zurzeit gekommen bin:
{x | [mm] (x\in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_2) \vee [/mm] (x | x [mm] \in M_2 [/mm] ^ x [mm] \not\in M_1 [/mm] ) = (x | x [mm] \in M_1 \vee [/mm] x [mm] \in M_2) [/mm] \ (x | x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_2)}
[/mm]
{x | [mm] (x\in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_2) [/mm] v (x [mm] \in M_2 [/mm] ^ x [mm] \not\in M_1 [/mm] ) = (x [mm] \in M_1 \vee [/mm] x [mm] \in M_2) \wedge [/mm] (x [mm] \not\in M_1 \vee [/mm] x [mm] \not\in M_2)}
[/mm]
Hier komme ich leider nicht mehr weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Ich hoffe mal, dass es bis hierhin richtig ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
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> ich soll zeigen, dass diese Gleichheit gilt:
>
> [mm](M_1[/mm] \ [mm]M_2) \cup (M_2[/mm] \ [mm]M_1)[/mm] = [mm](M_1 \cup M_2)[/mm] \ [mm](M_1 \cap M_2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Mit der Wahrheitstafel habe ich das ohne Probleme
> hinbekommen. Zur Übung wollte ich das jetzt aber mal auf
> den direkten Weg versuchen. Ich schreibe mal auf, bis wohin
> ich zurzeit gekommen bin:
>
> {x | [mm](x\in M_1 \wedge[/mm] x [mm]\not\in M_2) \vee[/mm] (x | x [mm]\in M_2[/mm] ^
> x [mm]\not\in M_1[/mm] ) = (x | x [mm]\in M_1 \vee[/mm] x [mm]\in M_2)[/mm] \ (x | x
> [mm]\in M_1 \wedge[/mm] x [mm]\in M_2)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> {x | [mm](x\in M_1 \wedge[/mm] x [mm]\not\in M_2)[/mm] v (x [mm]\in M_2[/mm] ^ x
> [mm]\not\in M_1[/mm] ) = (x [mm]\in M_1 \vee[/mm] x [mm]\in M_2) \wedge[/mm] (x
> [mm]\not\in M_1 \vee[/mm] x [mm]\not\in M_2)}[/mm]
Deine Schreibweise ist sehr ungewöhnlich und falsch !
Zeigen mußt Du:
1. $ [mm] (M_1 [/mm] $ \ $ [mm] M_2) \cup (M_2 [/mm] $ \ $ [mm] M_1) [/mm] $ [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] (M_1 \cup M_2) [/mm] $ \ $ [mm] (M_1 \cap M_2) [/mm] $
und
2. $ [mm] (M_1 [/mm] $ \ $ [mm] M_2) \cup (M_2 [/mm] $ \ $ [mm] M_1) [/mm] $ [mm] \supseteq [/mm] $ [mm] (M_1 \cup M_2) [/mm] $ \ $ [mm] (M_1 \cap M_2) [/mm] $
Ich zeig Dir, wie 1. geht. 2. machst Du dann.
Sei x [mm] \in [/mm] $ [mm] (M_1 [/mm] $ \ $ [mm] M_2) \cup (M_2 [/mm] $ \ $ [mm] M_1) [/mm] $
Fall 1: x [mm] \in [/mm] $ [mm] (M_1 [/mm] $ \ $ [mm] M_2)$. [/mm] Dann ist x [mm] \in M_1 [/mm] , x [mm] \notin M_2. [/mm] Folglich haben wir
x [mm] \in M_1 \cup M_2 [/mm] , x [mm] \notin M_1 \cap M_2.
[/mm]
Fazit: x [mm] \in [/mm] $ [mm] (M_1 \cup M_2) [/mm] $ \ $ [mm] (M_1 \cap M_2) [/mm] $
Fall 2: x [mm] \in [/mm] $ [mm] (M_2 [/mm] $ \ $ [mm] M_1)$. [/mm] Geht wie Fall 1 (vertausche die Rollen von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2)
[/mm]
FRED
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> Hier komme ich leider nicht mehr weiter. Wäre super, wenn
> mir jemand helfen könnte. Ich hoffe mal, dass es bis
> hierhin richtig ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Do 20.09.2012 | | Autor: | Crashday |
Irgendwie bin ich ein wenig verwirrt. Kümmern wir uns jetzt erst um den linken Teil? Und Fall 2 wär doch genauso wie Fall 1, nur dass [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] vertauscht sind oder?
Fall 2: x [mm] \in (M_2 [/mm] / [mm] M_1) [/mm] Dann ist x [mm] \in M_2 [/mm] , x [mm] \not\in M_1 [/mm] . Folglich haben wir x [mm] \in M_2 \cup M_1 [/mm] , x [mm] \not\in M_2 \cap M_1 [/mm] . Somit ist das genau dasselbe wie in Fall 1.
Ich habe das als ersten so aufgeschrieben, da wir ein Beispiel genauso gemacht haben. Hier z. B. haben wir das so gemacht:
[mm] M_1 \cap (M_1 \cup M_2) [/mm] = [mm] M_1
[/mm]
[mm] M_1 \cap [/mm] {x | x [mm] \in M_1 \vee [/mm] x [mm] \in M_2}
[/mm]
= {x | x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] (x [mm] \in M_1 \vee [/mm] x [mm] \in M_2)}
[/mm]
Hier wurde dann das Distributivgesetz angewendet:
= {x | x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_1) \vee [/mm] (x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_2)}
[/mm]
= {x | x [mm] \in M_1 \vee [/mm] (x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_2)}
[/mm]
Adjunktion:
= [mm] M_1 [/mm] = [mm] M_1
[/mm]
Darum habe ich das auch so an dem anderen Beispiel probiert, aber irgendwie klappt das nicht...
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Hallo Crashday,
> Irgendwie bin ich ein wenig verwirrt. Kümmern wir uns
> jetzt erst um den linken Teil?
Ja, wir sind dabei, die Richtung [mm](M_1\setminus M_2)\cup(M_2\setminus M_1) \ \subseteq \ (M_1\cup M_2)\setminus(M_1\cap M_2)[/mm] zu zeigen, haben also als Voraussetzung:
[mm]x\in (M_1\setminus M_2)\cup(M_2\setminus M_1)[/mm] und müssen zeigen, dass [mm]x[/mm] dann auch [mm]\in (M_1\cup M_2)\setminus(M_1\cap M_2)[/mm] ist.
Und die Voraussetzung wird in 2 Fälle unterteilt:
1.1: [mm]x[/mm] aus der ersten Menge, also [mm]x\in (M_1\setminus M_2)[/mm]
1.2: [mm]x[/mm] aus der zweiten Menge, also [mm]x\in (M_2\setminus M_1)[/mm]
Das sind ja (neben [mm]x\in [/mm] beiden Mengen, was aber durch 1.1 und 1.2 abgedeckt ist) genau die Fälle, die linkerhand auftreten können, [mm]x\in A\cup B[/mm] heißt ja: [mm]x\in A \ \text{oder} \ x\in B[/mm]
> Und Fall 2 wär doch genauso
> wie Fall 1, nur dass [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] vertauscht sind oder?
Jo!
>
> Fall 2: x [mm]\in (M_2[/mm] / [mm]M_1)[/mm]
Genau!
> Dann ist x [mm]\in M_2[/mm] , x [mm]\not\in M_1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> . Folglich haben wir x [mm]\in M_2 \cup M_1[/mm] , x [mm]\not\in M_2 \cap M_1[/mm]
> . Somit ist das genau dasselbe wie in Fall 1.
Ganz genauso ist es!
>
> Ich habe das als ersten so aufgeschrieben, da wir ein
> Beispiel genauso gemacht haben. Hier z. B. haben wir das so
> gemacht:
>
> [mm]M_1 \cap (M_1 \cup M_2)[/mm] = [mm]M_1[/mm]
Du musst vor die Mengenklammern einen Backslash machen, sonst wird das falsch übersetzt, also \{ bzw. \} für [mm] $\{$ bzw. $\}$
[/mm]
Ich habe das hier mal ausgebessert.
>
> [mm] $M_1 \cap \{x | x \in M_1 \vee x \in M_2\}$
[/mm]
>
> $= [mm] \{x | x \in M_1 \wedge (x \in M_1 \vee x \in M_2)\}$
[/mm]
>
> Hier wurde dann das Distributivgesetz angewendet:
>
> $= [mm] \{x | x \in M_1 \wedge x \in M_1) \vee (x \in M_1 \wedge x \in M_2)\}$
[/mm]
>
> $= [mm] \{x | x \in M_1 \vee (x \in M_1 \wedge x \in M_2)\}$
[/mm]
>
> Adjunktion:
>
> $= [mm] M_1 [/mm] = [mm] M_1$
[/mm]
Jo
>
> Darum habe ich das auch so an dem anderen Beispiel
> probiert, aber irgendwie klappt das nicht...
Naja, was sollen wir dazu denn sagen? Wir kennen doch dein Bsp. nicht ...
Gruß
schachuzipus
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