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Forum "Integration" - Probleme mit Substitution
Probleme mit Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Probleme mit Substitution: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Do 03.02.2005
Autor: larlib

Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}}} [/mm]
u  [mm] =\wurzel{1+x^{3}} [/mm]
dx=  [mm] \bruch{du}{3x^{2}} [/mm]

Also
[mm] \bruch{x^{2}}{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{3x^{2}} [/mm]

bis dahin komme ich! PROBLEM : was setzte ich für du ein.
Ist du die Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] also 2x?!?
Setzte ich du =2x, kürze ich wahrscheinlich durch [mm] {3x^{2}}. [/mm]
Kommt  [mm] \bruch{2}{3x} [/mm] raus.
Dann
[mm] \bruch{x^{2}}{u} [/mm] *  [mm] \bruch{2}{3x}. [/mm]
Würde heißen:
[mm] \bruch{2}{3x} \integral_{0}^{0} [/mm] { [mm] \bruch{x^{2}}{u}}. [/mm]
Ist das bis dahin korrekt???
Bräuchte mal nen Feedback.

Danke
larlib



        
Bezug
Probleme mit Substitution: Erläuterungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 03.02.2005
Autor: Loddar

Hallo larlib !!


Da scheint ja wirklich etwas durcheinander geraten zu sein ...

[mm]\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Machen wir das mal ganz langsam:

Die Substitution, die hier zum Ziel führt, lautet: $u \ = \ 1+x^3$

Hier wird nicht nur die Variable x ersetzt, sondern wir müssen auch $dx$ durch $du$ ersetzen.

$\bruch{du}{dx} \ = \ u' \ = \ \left(1+x^3 \right)' \ = \ 3*x^2$
$\Rightarrow$
$dx \ = \ \bruch{du}{3x^2}$


Das setzen wir nun in unser Integral ein:
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{u}} \ \bruch{du}{3x^2}}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{3x^2 * \wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{1}{3 * \wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\bruch{1}{3} * \integral_{}^{} {\bruch{1}{\wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\bruch{1}{3} * \integral_{}^{} {u^{- \bruch{1}{2}}} \ du}$

Hier kannst Du nun mit der MBPotenzregel die Stammfunktion bilden.


Kommst Du nun alleine weiter?


Anmerkung:
Bei einem bestimmten Integral (also mit Integrationsgrenzen) mußt Du auch diese Grenzen substituieren oder am Ende eine Re-Substitution durchführen (d.h. zurück zu $x$).


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Probleme mit Substitution: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 03.02.2005
Autor: larlib

Hallo Loddar,

[mm] \bruch{1}{3} \cdot{} \integral_{}^{} {u^{- \bruch{1}{2}}} [/mm] du

daraus folgt:

[mm] \bruch{1}{3} \bruch{u^{\bruch{1}{2}}}{ \bruch{1}{2}} [/mm]

daraus folgt:


[mm] \bruch{u^{\bruch{1}{2}}}{ \bruch{3}{2}} [/mm]

daraus folgt:

[mm] \bruch {(1+x^{3})^\bruch{1}{2}} {\bruch{3}{2}} [/mm]

Also das Ergebnis ist dann:

[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}=\bruch {(1+x^{3})^\bruch{1}{2}} {\bruch{3}{2}} [/mm]

Wäre das so korrekt???



Bezug
                        
Bezug
Probleme mit Substitution: Jawoll
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Do 03.02.2005
Autor: Loddar

Hallo larlib !!


> Also das Ergebnis ist dann:
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}=\bruch {(1+x^{3})^\bruch{1}{2}} {\bruch{3}{2}}[/mm]

[daumenhoch] Gut gemacht ...
Ist das Verfahren mit der Substitution nun klarer?


Nur zwei Anmerkungen:
- Den Bruch im Nenner kann man ja noch etwas "schöner schreiben" ;-)
- Bei unbestimmten Integralen bitte auch an die Integrationskonstante am Ende denken !!!


[mm]\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx} \ = \ \bruch{2}{3} * \left(1+x^{3} \right)^\bruch{1}{2}} \ \red{+ \ C} \ = \ \bruch{2}{3} * \wurzel{1+x^3} \ + \ C[/mm]


Gruß Loddar


Bezug
                                
Bezug
Probleme mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Fr 04.02.2005
Autor: larlib

Hallo Loddar,
>  Ist das Verfahren mit der Substitution nun klarer?

Absolut Oberklar.
Dank dir

Gruß
larlib

Bezug
                                        
Bezug
Probleme mit Substitution: Klasse!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Fr 04.02.2005
Autor: Loddar


                      [daumenhoch]

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