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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Fr 15.01.2010 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Bestimme folgende Integrationsfunktion:
[mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2} dx}[/mm] |
Hier sollte man die Produktintegration anwenden, jedoch komme ich in eine Sackgasse...
Das Ergebnis ist ja F(x)=(x-sin(x)*cos(x)+C)/2.
Jedoch weiß ich nicht, wie man folgende Umstellung kommt:
[mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2} dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm] = [mm]-sin(x)*cos(x)-\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2}+cos(x)^{2} dx}[/mm]
Der Term vor dem Integral ist ja klar wegen u*v. Aber im Integral heißt es doch u*v' bzw v'*u. Woher kommt dann der Sinus UND Cosinus im Integral
Danke für Eure Hilfe...
MfG
n0rdi
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Hallo Thomas,
> Bestimme folgende Integrationsfunktion:
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2} dx}[/mm]
> Hier sollte man die
> Produktintegration anwenden, jedoch komme ich in eine
> Sackgasse...
> Das Ergebnis ist ja F(x)=(x-sin(x)*cos(x)+C)/2.
Jo, bzw. [mm] $\frac{x-\sin(x)\cdot{}\cos(x)}{2} [/mm] \ + \ C$
Dabei ist aber das unbestimmte Integral gemeint, also ohne Grenzen, die lasse also mal besser weg und schreibe nur [mm] $\int{\sin^2(x) \ dx}$...
[/mm]
> Jedoch weiß ich nicht, wie man folgende Umstellung
> kommt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm] =
> [mm]-sin(x)*cos(x)-\integral_{a}^{b}{sin(x)^{2}+cos(x)^{2} dx}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Der Term vor dem Integral ist ja klar wegen u*v. Aber im
> Integral heißt es doch u*v' bzw v'*u. Woher kommt dann der
> Sinus UND Cosinus im Integral
Ja, da stimmt was nicht. Um mit gleichen Bezeichnungen zu sprechen, nehmen wir die Formel: [mm] $\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}$
[/mm]
Es müsste also lauten:
[mm] $\int{\sin^2(x) \ dx}=\int{\underbrace{\sin(x)}_{u'}\cdot{}\underbrace{\sin(x)}_{v} \ dx}=\underbrace{-\cos(x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\sin(x)}_{v} [/mm] \ - \ [mm] \int{\underbrace{-\cos(x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{v'} \ dx}$
[/mm]
[mm] $\gdw \int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cdot{}\cos(x)+\int{\cos^2(x) \ dx}$
[/mm]
Nun wende den trigonometrischen Pythagoras an: [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
[/mm]
[mm] $\gdw \int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+\int{(1-\sin^2(x)) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+\int{1 \ dx}-\int{\sin^2(x)) \ dx}$
[/mm]
Nun integriere mal die 1 da und schaffe das [mm] $-\int{\sin^2(x) \ dx}$ [/mm] rechterhand auf die linke Seite der Gleichung ...
Nun klar?
> Danke für Eure Hilfe...
> MfG
> n0rdi
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 15.01.2010 | | Autor: | n0rdi |
> > Der Term vor dem Integral ist ja klar wegen u*v. Aber im
> > Integral heißt es doch u*v' bzw v'*u. Woher kommt dann der
> > Sinus UND Cosinus im Integral
>
> Ja, da stimmt was nicht. Um mit gleichen Bezeichnungen zu
> sprechen, nehmen wir die Formel: [mm]\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}[/mm]
>
> Es müsste also lauten:
>
> [mm]\int{\sin^2(x) \ dx}=\int{\underbrace{\sin(x)}_{u'}\cdot{}\underbrace{\sin(x)}_{v} \ dx}=\underbrace{-\cos(x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\sin(x)}_{v} \ - \ \int{\underbrace{-\cos(x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{v'} \ dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw \int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cdot{}\cos(x)+\int{\cos^2(x) \ dx}[/mm]
>
> Nun wende den trigonometrischen Pythagoras an:
> [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm]
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> [mm]\gdw \int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+\int{(1-\sin^2(x)) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+\int{1 \ dx}-\int{\sin^2(x)) \ dx}[/mm]
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> Nun integriere mal die 1 da und schaffe das [mm]-\int{\sin^2(x) \ dx}[/mm]
> rechterhand auf die linke Seite der Gleichung ...
Trigonometrischen Pythagoras habe ich verstanden ;) Die 1 integrieren ergibt ein x.
Aber wie ist das mit dem Rüberbringen in der Gleichung gemeint?
[mm]\int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+\int{1 \ dx}-\int{\sin^2(x)) \ dx}[/mm][mm]\gdw 2*\int{\sin^2(x) \ dx}=-\sin(x)\cos(x)+x+C[/mm] [mm]\gdw \int{\sin^2(x) \ dx}=(-\sin(x)\cos(x)+x)/2+C[/mm]
So richtig?;)
> Nun klar?
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> > Danke für Eure Hilfe...
> > MfG
> > n0rdi
> >
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Fr 15.01.2010 | | Autor: | n0rdi |
ok, ich habe zu danken, hat sehr geholfen
MfG
n0rdi
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
