Produkregel im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Sind f; g : Rn -> R in x0 aus Rn differenzierbar, so auch das Produkt fg.
Berechnen Sie dessen Ableitung. |
Nun ja ich habs es mit Hilfe der Definiton der Differenzierbarkeit versucht:
f diffbar bedeutet:
f(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0)+rest(der in x0 null ist)
Analog:
g(x)=g(x0)+g´(x0)(x-x0)
(abermals ist der rest immer 0 da sie in allen x0 Diffbar sind)
Ich setze nun f mal g:
fg(x)=fg(x0)+ f´(x0)(x-x0)g(x0)+g´(x)(x-x0)f(x0)+f´(x0)(x-x0)g´(x)(x-x0)
Der erste Summand gefällt mir schon gut, aber mir feht die Idee, wie ich die Restlichen so umformen kann, dass ich ne schöne lineare Funktion bekomm (also die Ableitung).
Ich wäre für jeden Tipp dankbar und habe die Frage sonst nirgends gestellt ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Do 08.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Sind f; g : Rn -> R in x0 aus Rn
> differenzierbar, so auch das Produkt fg.
> Berechnen Sie dessen Ableitung.
> Nun ja ich habs es mit Hilfe der Definiton der
> Differenzierbarkeit versucht:
> f diffbar bedeutet:
> f(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0)+rest(der in x0 null ist)
> Analog:
> g(x)=g(x0)+g´(x0)(x-x0)
> (abermals ist der rest immer 0 da sie in allen x0 Diffbar
> sind)
das ist Schmierzetteltauglich, aber auch nicht mehr. (Das heißt nicht, dass
die Schmierzettelüberlegungen sinnlos sind - es heißt nur, dass Du das so
niemals irgendwo abgeben solltest, sofern ein Mindestanspruch auf
Präzision gelegt wird.)
![[]](/images/popup.gif) Definition 19.6
Da steht vor allem drin, dass die "Restfunktion" stetig in [mm] $x_0$ [/mm] sein soll -
und eigentlich steht nach dieser "Restfunktion" auch noch ein Faktor; man
sollte dieses Ding vielleicht daher eher "Rest-Faktor-Funktion" nennen...
(Und bei Deiner Notation müsste man schon aufpassen, denn es gibt nicht
eine [gemeinsame] "Rest-Faktor-Fkt." für [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,,$ [/mm] sondern es gibt
eine solche für [mm] $f\,$ [/mm] und eine für [mm] $g\,.$) [/mm] Und vor allem steht da was anders
wie das, was bei Dir steht...
> Ich setze nun f mal g:
Du meinst: Du berechnest [mm] $f*g\,$ [/mm] mit obigem Ansatz (der zu korrigieren ist!)
> fg(x)=fg(x0)+
> f´(x0)(x-x0)g(x0)+g´(x)(x-x0)f(x0)+f´(x0)(x-x0)g´(x)(x-x0)
>
> Der erste Summand gefällt mir schon gut, aber mir feht die
> Idee, wie ich die Restlichen so umformen kann, dass ich ne
> schöne lineare Funktion bekomm (also die Ableitung).
Ich sag's mal so:
Wenn Du doch (aber dafür korrigiere insbesondere Deine obigen Formeln)
$(f * [mm] g)(x)=\underbrace{(f*g)(x_0)}_{=f(x_0)*g(x_0)}+f(x_0)*(x-x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)+...$ [/mm]
(Du hattest da einmal [mm] $(x-x_0)$ [/mm] zuviel (rotmarkiert) - und der Faktor
[mm] $|x-x_0|$ [/mm] steht bei Dir nicht, was aber evtl. an Eurer Definition liegt...)
hast (beachte übrigens, dass da [mm] $(x-x_0)$ [/mm] eine "Vektordifferenz" ist: Eigtl.
schreibt man nämlich nicht "Vektor Mal Skalar" - sondern umgekehrt, wobei
sich daran aber auch sicher niemand wirklich stören würde...),
so schaust Du erst nochmal in die Definition 19.6 von oben und wirst wohl
auch intuitiv - mit Erinnerung an die Schule - vermuten, dass wohl
[mm] $\red{(f*g)'(x_0)=f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0)}$
[/mm]
sein wird, also schreibst Du (das ist ja nur eine einfache Umformung)
$(f * [mm] g)(x)=\underbrace{(f*g)(x_0)}_{=f(x_0)*g(x_0)}+(\red{f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)})*(x-x_0)+...$
[/mm]
Jetzt hast Du ja einen Ausdruck bei den ... am Ende stehen:
Diesen solltest Du dann (wenn wir nach obiger Def. 19.6 arbeiten) in die
Form
[mm] $...=\tilde{\varepsilon}(x)*|x-x_0|$
[/mm]
bringen können, und hast dann noch zu begründen, dass
die Funktion [mm] $\tilde{\varepsilon}(x)$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\varepsilon}(x_0)=0$
[/mm]
ist. Dann bist Du fertig.
Damit es vielleicht klarer wird:
Du müsstest bspw. anfangen, dass gilt
[mm] $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\varepsilon_f(x)*|x-x_0|\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $\red{\varepsilon_f(x)}$ [/mm] eine in [mm] $x_0$ [/mm] STETIGE Funktion MIT ZUDEM [mm] $\red{\varepsilon_f(x_0)=0}$ [/mm] ist!
(Den ersten Teil, die Stetigkeit der "Rest-Faktor-Funktion", wurde bei Dir
nämlich komplett unterschlagen!)
P.S. Vielleicht steht bei Euch "wirklich" eine "Restfunktion", aber dann
habt ihr sicher noch irgendeine Ergänzung mit etwa dem Landau-Symbol
dabeistehen. Daher wäre es eigentlich am Besten so:
Schreibe genau Eure Definition der Diff'barkeit und verwende diese, um
genau hinzuschreiben, welche Voraussetzungen Du per Definitionem an
[mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] kennst.
Schreibe Dir mal auf, was Du per Definitionem nachzuweisen hast. Und
dann rechne (so, wie Du es oben getan hast) und schau' nach, was es
dann noch zu begründen gibt, um den Beweis zu vervollständigen. Die
Formel hast Du dann insbesondere mit drin stehen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Do 08.05.2014 | | Autor: | xxgenisxx |
Puh das ist eine Lange Antwort, danke ;)
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