www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Schul-Analysis" - Produkt- und Kettenregel
Produkt- und Kettenregel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Schul-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Produkt- und Kettenregel: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hi,
es geht wieder einmal um die Produkt und Kettenregel

1.
[mm]f(x)=(1-x) \wurzel{3x}[/mm]

[mm]u=1-x[/mm]
[mm]u'=1[/mm]

[mm]v=\wurzel{3x}[/mm]
[mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[mm]f'(x)=(1* \wurzel{3})+((1-x)* \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]
So hier war ich mir nun nicht mehr so sicher mit dem zusammenfassen
[mm]f'(x)=\wurzel{3x}\bruch{3}{ 2\wurzel{x}}-\bruch{3x}{ 2\wurzel{x}}[/mm]


2. [mm]f(x)=x\wurzel{1+x^2}[/mm]
[mm]u=x[/mm]
[mm]u'=1[/mm]

[mm]v=\wurzel{1+x^2}[/mm]
[mm]u=\wurzel{u}[/mm] bzw. [mm]u^0.5[/mm]
[mm]u'= \bruch{1}{2}*u^{-0.5}[/mm]
[mm]f=1+x^2[/mm]
[mm]f'=2x[/mm]

[mm]v'=2x*\bruch{1}{2}u^{-0.5}[/mm]
[mm]v'=2x*\bruch{1}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]
[mm]v'=\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]

[mm]f'(x)=(1* \wurzel{1+x^2})+(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}})[/mm]
[mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2}}) [/mm]
[mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(\bruch{2x^2}{ \bruch{1}{2}}) [/mm]

3
[mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
[mm]u=sin(2x)[/mm]
[mm]u'=2[/mm]
[mm]v=cos(2x)[/mm]
[mm]v'=2[/mm]
oder ist das
[mm]u'=cos(2x)[/mm]
[mm]v'=-sin(2x)[/mm]

Grüße Mareike

        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Fangen wir mal hinten an ;-) ...


>  [mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
>  [mm]u=sin(2x)[/mm]
>  [mm]u'=2[/mm]
>  [mm]v=cos(2x)[/mm]
>  [mm]v'=2[/mm]
>  oder ist das
>  [mm]u'=cos(2x)[/mm]
>  [mm]v'=-sin(2x)[/mm]

[notok] Das stimmt so leider nicht!

Sehen wir uns mal [mm] $\sin(2x)$ [/mm] an.

Hierbei handelt es sich ja um eine verkettete Funktion, die wir mit der MBKettenregel ableiten müssen.

Zunächst betrachten wir also: [mm] $\sin(...)$ [/mm] .
Daraus wird dann abgeleitet: [mm] $\cos(...)$ [/mm]  ÄUSSERE ABLEITUNG

Nun die INNERE ABLEITUNG:
Nun leiten wir ab, was in der Klammer steht: $2x_$ .
Daraus wird dann: $2_$ .


Packen wir das nun beides zusammen gemäß MBKettenregel mit "äußere Ableitung mal innere Ableitung", so erhalten wir:

[mm] $\left[ \ \sin(2x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cos(...) [/mm] * 2 \ = \ [mm] \sin(2x) [/mm] * 2 \ = \ [mm] 2*\sin(2x)$ [/mm]


Schaffst Du nun den Rest? Poste doch mal Dein Ergebnis ...

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zweiter Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

Hi danke,
so mal sehen ob das jetzt richtiger ist

[mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
[mm]u=sin(2x)[/mm]
äußere
[mm]u=sin(u)[/mm]
[mm]u'=cos(u)[/mm]
innere
[mm]f=2x[/mm]
[mm]f'=2[/mm]
innere mal äußere gleich Abl von u
[mm]u'=2cos(2x)[/mm]

und das gleiche nochmal
[mm]v=cos[/mm]
[mm]u=cos(u)[/mm]
[mm]u'=-sin(u)[/mm]
[mm]f=2x[/mm]
[mm]f'=2[/mm]
[mm]v'=-2sin(2x)[/mm]


[mm]u'*v+u*v'[/mm]
[mm]f'(x)=2cos(2x)*cos(2x)-2sin(2x)*sin(2x)[/mm]
[mm]f'(x)=2(cos(2x))^2-2*(sin(2x))^2[/mm]

Grüße Mareike

Bezug
                        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Stimmt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!



Mal abgesehen von der teilweisen etwas unglücklichen Bezeichnung (Du verwendest teilweise dieselben Bezeichnungen doppelt), hast Du aber richtig gerechnet, und das Ergebnis stimmt!

[daumenhoch] !!


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


> [mm]f(x)=(1-x) \wurzel{3x}[/mm]
>  
> [mm]u=1-x[/mm]
> [mm]u'=1[/mm]

[notok] Sieh' dir mal das Vorzeichen an!



> [mm]v=\wurzel{3x}[/mm]
> [mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[notok] Wahrscheinlich nur Tippfehler:

Unter die Wurzel gehört natürlich noch eine $3_$ : [mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{\red{3}x}}[/mm]


> [mm]f'(x)=(1* \wurzel{3})+((1-x)* \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[notok] [mm]f'(x) \ = \ (\red{-}1)* \wurzel{3\red{x}} + (1-x)*\bruch{3}{2\wurzel{\red{3}x}}[/mm]


> So, hier war ich mir nun nicht mehr so sicher mit dem
> zusammenfassen
> [mm]f'(x)=\wurzel{3x}\bruch{3}{ 2\wurzel{x}}-\bruch{3x}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

Uih! Hier beim Zusammenfassen ist einiges durcheinander geraten ...

Am besten, Du schreibst alles zunächst mal auf einen Bruchstrich, dafür erweitern wir den ersten Term mit [mm] $2\wurzel{3x}$ [/mm] :

[mm]f'(x) \ = \ \bruch{(-1)*\wurzel{3x}*2*\wurzel{3x}}{2*\wurzel{3x}} + \bruch{3*(1-x)}{2\wurzel{3x}} \ = \ \bruch{(-1)*(3x)*2}{2*\wurzel{3x}} + \bruch{3*(1-x)}{2\wurzel{3x}}[/mm]

[mm]f'(x) \ = \ \bruch{-6x + 3-3x}{2\wurzel{3x}}[/mm]


Schaffst Du den Rest nun alleine? Und hast Du die anderen Schritte verstanden?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Nr. 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

Hi,

Danke, ich denk ich habs jetzt verstanden.
Allerdings mit dem weitermachen hab ich es nur bis hier:

[mm]f'(x)=\bruch{-9x+3}{2\wurzel{3x}}[/mm]
Aber weiter würde es ja mit der Quotientenregel gehen und die hatten wir noch niocht bzw. sollen wir nach der Aufgabenstellung nicht benutzen.

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mi 14.09.2005
Autor: Mathe_Alex

[mm] a/b=a*b^{-1} [/mm]

als Tipp: so macht man aus Brüchen Produkte.

Bezug
        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Nun die zweite als drittes ;-) ...


> 2. [mm]f(x)=x\wurzel{1+x^2}[/mm]
> [mm]u=x[/mm]
> [mm]u'=1[/mm]

[ok]



> [mm]v=\wurzel{1+x^2}[/mm]
> [mm]u=\wurzel{u}[/mm] bzw. [mm]u^0.5[/mm]
> [mm]u'= \bruch{1}{2}*u^{-0.5}[/mm]
> [mm]f=1+x^2[/mm]
> [mm]f'=2x[/mm]

[ok] Auch wenn die doppelte Benutzung von $u_$ nicht sehr glücklich ist!


> [mm]v'=2x*\bruch{1}{2}u^{-0.5}[/mm]

[ok]


> [mm]v'=2x*\bruch{1}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]

Hier kommst Du mit dem Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] etwas durcheinander.

Es muss heißen:  [mm]v'=2x*\bruch{1}{\red{2}*\wurzel{1+x^2}}[/mm]

Damit wird dann: [mm]v'=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]



> [mm]f'(x)=(1* \wurzel{1+x^2})+(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}})[/mm]

Die Ableitung stimmt fast (siehe oben mit [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ...).


> [mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2}})[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(\bruch{2x^2}{ \bruch{1}{2}})[/mm]

Aber das Zusammenfassen haut nicht ganz hin.

Zunächst den ersten Term mit [mm] $\wurzel{1+x^2}$ [/mm] erweitern und dann auf einen Bruchstrich schreiben und zusammenfassen (siehe auch andere Aufgabe).


Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Schul-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de