Produkt Ausfall Wahrscheinl. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 24.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe zwar eine Lösung dazu, würde es gerne aber auf ne andere Methode machen, die bei mir leider auf das falsche Ergebnis stösst.
Gegeben sind zwei unabhängige Fabrikationsprodukte A und B, die eine gewisse Lebensdauer haben. Die Lebensdauer t ist exponentialverteilt mit jeweils parameter [mm] \lambda.
[/mm]
Gegeben also die Dichtefunktionen:
[mm] f_{A}(t) [/mm] = [mm] \lambda_{A}*e^{-\lambda_{A}*t}
[/mm]
[mm] f_{B}(t) [/mm] = [mm] \lambda_{B}*e^{-\lambda_{B}*t}
[/mm]
...folglich sind die Verteilungsfunktionen:
[mm] P_{A}[t \le [/mm] a] = 1 - [mm] e^{-\lambda_{A}*a}
[/mm]
[mm] P_{B}[t \le [/mm] a] = 1 - [mm] e^{-\lambda_{B}*a}
[/mm]
Nun besteht ein Frabrikationsprodukt C aus A und B. Wenn also entweder A oder B oder beide ausgefallen sind, so ist C ebenfalls defekt.
Frage: Finde die Verteilungsfunktion von C.
In der Musterlösung wird so vorgegangen:
[mm] P_{C}[t \le [/mm] a] = 1 - [mm] P[min(t_{A},t_{B}) [/mm] > a] = 1 - [mm] P[t_{A} [/mm] > [mm] a,t_{B} [/mm] > a] = 1 - [mm] P[t_{A} [/mm] > [mm] a]*P[t_{B} [/mm] > a] = 1 - [mm] e^{-(\lambda_{A} + \lambda_{B})*a}
[/mm]
Jetzt wir kann ich das ohne den Trick "1 - P" machen? Mein Versuch:
[mm] P_{C}[t \le [/mm] a] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{P[t_{A} \le t_{B}]*P[t_{A} \le a]d t_{B}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{P[t_{B} \le t_{A}]*P[t_{B} \le a]d t_{A}} [/mm] = ...
Wollte mal fragen, macht das Sinn? Weil wenn ich es ausrechne komm ich auf was falsches.
Vielen Dank.
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 25.07.2011 | | Autor: | wauwau |
Du solltest halt über die gemeinsame Dichte- und nicht Verteilungsfunktion integrieren!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mo 25.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ja das macht doch keinen Sinn.
Ich brauche ja [mm] P[t_{A} \le t_{B}] [/mm] und integriere nun über alle [mm] t_{B}, [/mm] d.h. soviel wie man geht über alle [mm] t_{B} [/mm] und jedesmals multipliziert man die Wahrscheinlichkeit dass [mm] t_{A} \le t_{B} [/mm] mit der Wahrscheinlichkeit dass [mm] t_{A} [/mm] > [mm] t_{C} [/mm] ist. Die Dichtefunktion würde keinen Sinn machen.
Mir ist langsam in denn Sinn gekommen, dass es eigentlich so sein sollte:
[mm] P_{C}[t \le [/mm] a] = [mm] P_{C}[max(t_{A},t_{B}) \le [/mm] a] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{P[t_{A} \ge t_{B}]\cdot{}P[t_{A} \le a]d t_{B}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{P[t_{B} \ge t_{A}]\cdot{}P[t_{B} \le a]d t_{A}} [/mm] = ...
Trotzdem komm ich wieder auf ein falsches Ergenis. Ich probiere an allem rum, aber komme nich drauf und bin immer mehr verwirrt.
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Hallo qsxqsx!
> Ja das macht doch keinen Sinn.
> Ich brauche ja [mm]P[t_{A} \le t_{B}][/mm]
Wozu?
> und integriere nun über
> alle [mm]t_{B},[/mm]
Ist hier bzw. in Deiner Formel also [mm] $t_B$ [/mm] eine symbolische Integrationsvariable und keine Zufallsvariable?
> d.h. soviel wie man geht über alle [mm]t_{B}[/mm] und
> jedesmals multipliziert man die Wahrscheinlichkeit dass
> [mm]t_{A} \le t_{B}[/mm] mit der Wahrscheinlichkeit dass [mm]t_{A}[/mm] > [mm]t_{C}[/mm] ist.
Warum?
> Die Dichtefunktion würde keinen Sinn machen.
>
> Mir ist langsam in denn Sinn gekommen, dass es eigentlich
> so sein sollte:
>
> [mm]P_{C}[t \le[/mm] a] = [mm]P_{C}[max(t_{A},t_{B}) \le[/mm] a] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{P[t_{A} \ge t_{B}]\cdot{}P[t_{A} \le a]d t_{B}}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{\infty}{P[t_{B} \ge t_{A}]\cdot{}P[t_{B} \le a]d t_{A}}[/mm]
> = ...
>
> Trotzdem komm ich wieder auf ein falsches Ergenis. Ich
> probiere an allem rum, aber komme nich drauf und bin immer
> mehr verwirrt.
Was passiert mit Deiner Formel, wenn $a$ 'sehr groß' ist?
Ohne den 'Trick' ist das interessierende Ereignis [mm] $\{t_A \leq a\} \cup \{t_B \leq a\}$ [/mm] eine Vereinigung zweier Mengen. Sind diese Mengen disjunkt? Die dazu komplementäre Menge [mm] $\{t_A > a\} \cap \{t_B > a\}$ [/mm] ist der Durchschnitt zweier unabhängiger Ereignisse, was das Problem erheblich vereinfacht. Das ist Dir natürlich klar, aber umgekehrt ist mir nicht klar, was Du bewirken willst.
Beseitigen meine Fragen Deine Unklarheiten?
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 25.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Jetzt wir kann ich das ohne den Trick "1 - P" machen?Moin,
Du musst das Folgende noch sauber formulieren:
[mm] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)=(1 - [mm] e^{-\lambda_{A}\cdot{}a})+(1 [/mm] - [mm] e^{-\lambda_{B}\cdot{}a})-(1 [/mm] - [mm] e^{-\lambda_{A}\cdot{}a})(1 -e^{-\lambda_{B}\cdot{}a})=\ldots [/mm] $
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 25.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke...oh man so einfach...ich benutze einfach nicht gerne das Vereinigungszeichen weil ich mich vor 10 Jahren schwer mit Mengenlehre getan habe.
P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Produkt A nach der Zeit a schon ausgefallen ist. Macht alles Sinn.
Danke auch dir mathfunnel, auf dich ist bei schwierigen oder eckligen Angelegenheiten immer verlass. Ich habe noch oft bei so Wahrscheinlichkeitsaufgaben integration benutzt, mir fälllt aber gerade kein Beispiel ein.
Grüsse
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