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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 13.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Zu zeigen ist, dass
[mm] \produkt_{k=2}^{\infty}(1+\bruch{k}{(k+1)!+1})=\bruch{3}{2} [/mm] |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe mir folgendes gedacht:
Auf einen Nenner bringen:
[mm] \produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{(k+1)!+1}{(k+1)!+1}+\bruch{k}{(k+1)!+1})
[/mm]
= [mm] \produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{(k+1)!+1+k}{(k+1)!+1}) [/mm]
= [mm] \produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{c_{k}}{c_{k+1}})
[/mm]
Es handelt sich hierbei um eine Teleskopprodukt, soviel weiß ich schon einmal. Ich weiß auch, dass
[mm] c_{2}= \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] c_{3}= \bruch{7}{6}
[/mm]
[mm] c_{4}= \bruch{25}{24} [/mm] und schließlich [mm] c_{k}= \bruch{k!+1}{k!} [/mm] sein soll.
Letzteres leitet man aus den davor gewonnenen [mm] c_{x} [/mm] her.
Aber wie komme ich z.B. auf [mm] c_{2}= \bruch{3}{2}, c_{3}= \bruch{7}{6}, c_{4}= \bruch{25}{24}?
[/mm]
Und wie geht es dann weiter? Wie kann ich zeigen, dass das Produkt gegen [mm] \bruch{3}{2} [/mm] konvergiert?
Wäre klasse, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
hallo barsch
> Zu zeigen ist, dass
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{\infty}(1+\bruch{k}{(k+1)!+1})=\bruch{3}{2}[/mm]
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> Auf einen Nenner bringen:
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{(k+1)!+1}{(k+1)!+1}+\bruch{k}{(k+1)!+1})[/mm]
>
> = [mm]\produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{(k+1)!+1+k}{(k+1)!+1})[/mm]
>
hier nur noch wenig umformen:
[mm] \bruch{(k+1)!+1+k}{(k+1)!+1})=(k+1)*\bruch{k!+1}{(k+1)!+1}) [/mm]
und jetzt noch [mm] k+1=\bruch{(k+1)!}{k!}
[/mm]
Dann hast du [mm] :\bruch{(k+1)!+1+k}{(k+1)!+1})=\bruch{\bruch{k!+1}{k!}}{\bruch{(k+1)!+1}{(k+1)!}}
[/mm]
und das ist dein gesuchtes [mm] \bruch{c_{k}}{c_{k+1}}
[/mm]
Wenn du jetzt das Produkt bis n ausfuerst kuerzt sich alles, bis auf das erst und letzte, du hast also [mm] c_2*c_N
[/mm]
und fuer N gegen [mm] \infty [/mm] geht [mm] c_N [/mm] gegen 1
also bleibt nur [mm] c_2=3/2
[/mm]
> = [mm]\produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{c_{k}}{c_{k+1}})[/mm]
>
> Es handelt sich hierbei um eine Teleskopprodukt, soviel
> weiß ich schon einmal. Ich weiß auch, dass
>
> [mm]c_{2}= \bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]c_{3}= \bruch{7}{6}[/mm]
>
> [mm]c_{4}= \bruch{25}{24}[/mm] und schließlich [mm]c_{k}= \bruch{k!+1}{k!}[/mm]
> sein soll.
> Letzteres leitet man aus den davor gewonnenen [mm]c_{x}[/mm] her.
>
> Aber wie komme ich z.B. auf [mm]c_{2}= \bruch{3}{2}, c_{3}= \bruch{7}{6}, c_{4}= \bruch{25}{24}?[/mm]
>
> Und wie geht es dann weiter? Wie kann ich zeigen, dass das
> Produkt gegen [mm]\bruch{3}{2}[/mm] konvergiert?
>
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Di 13.03.2007 | | Autor: | barsch |
Wow,
vielen Dank. Manchmal sitzt man vor solchen Aufgaben und kommt einfach nicht auf die Lösung - und von alleine wäre ich da sicher nicht drauf gekommen. Vielen Dank.
Gruß
barsch
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