Produkt linear unabhängig < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Di 15.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich habe eine 3xn Matrix M mit mindestens 3 linear unabhängigen Spaltenvektoren. Die Komponenten der ersten Zeile seien [mm] x_{1}, [/mm] ... [mm] ,x_{n}, [/mm] die der zweiten Zeile [mm] y_{1}, [/mm] ... , [mm] y_{n} [/mm] und die der dritten Zeile [mm] z_{1},...,z_{n}
[/mm]
Wenn ich nun die Matrix mit ihrer Transponierten multiplieziere erhalte ich eine 3x3 Matrix:
[mm] M*M^{T}=\pmat{ \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i}\\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} \\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} &\summe_{i=1}^{n}z_{i}^{2}}
[/mm]
Soweit richtig?
Kann ich jetzt aus den Voraussetzungen folgern, dass die Spaltenvektoren dieser Matrix auch linear unabhängig sind?
Wenn ja, gilt die Rückrichtung dann auch?
Habe irgendwie keine richtige Idee und komme wegen der Summen auch nicht so wirklich weiter.
Schöne Grüße Anna.
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Hallo Anna,
> Hallo,
>
> ich habe eine 3xn Matrix M mit mindestens 3 linear
> unabhängigen Spaltenvektoren.
Wieviele können es denn höchstens sein? 
> Die Komponenten der ersten
> Zeile seien [mm]x_{1},[/mm] ... [mm],x_{n},[/mm] die der zweiten Zeile [mm]y_{1},[/mm]
> ... , [mm]y_{n}[/mm] und die der dritten Zeile [mm]z_{1},...,z_{n}[/mm]
>
> Wenn ich nun die Matrix mit ihrer Transponierten
> multiplieziere erhalte ich eine 3x3 Matrix:
>
> [mm]M*M^{T}=\pmat{ \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i}\\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} \\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} &\summe_{i=1}^{n}z_{i}^{2}}[/mm]
>
> Soweit richtig?
Ja.
> Kann ich jetzt aus den Voraussetzungen folgern, dass die
> Spaltenvektoren dieser Matrix auch linear unabhängig
> sind?
Schau Dir mal ![[]](/images/popup.gif) symmetrische Matrizen an. Du stößt auf einen Zusammenhang mit einer eindeutig definierten Diagonalmatrix. Wann ist deren Determinante [mm] \not=0 [/mm] ?
Vielleicht hilft Dir auch die Cholesky-Zerlegung weiter, aber da hast Du ein paar in Deinem Fall nicht wirklich nötige Bedingungen. Eine Idee könnte es Dir trotzdem bringen.
> Wenn ja, gilt die Rückrichtung dann auch?
Diese Frage kannst Du beantworten, wenn Du den ersten Teil hast. Versprochen.
Probiers mal.
> Habe irgendwie keine richtige Idee und komme wegen der
> Summen auch nicht so wirklich weiter.
>
> Schöne Grüße Anna.
Liebe Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 16.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine Hilfe.
> Hallo Anna,
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe eine 3xn Matrix M mit mindestens 3 linear
> > unabhängigen Spaltenvektoren.
>
> Wieviele können es denn höchstens sein?
Ok, es können auch höchstens 3 sein. 
>
> > Die Komponenten der ersten
> > Zeile seien [mm]x_{1},[/mm] ... [mm],x_{n},[/mm] die der zweiten Zeile [mm]y_{1},[/mm]
> > ... , [mm]y_{n}[/mm] und die der dritten Zeile [mm]z_{1},...,z_{n}[/mm]
> >
> > Wenn ich nun die Matrix mit ihrer Transponierten
> > multiplieziere erhalte ich eine 3x3 Matrix:
> >
> > [mm]M*M^{T}=\pmat{ \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i}\\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}^{2} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} \\ \summe_{i=1}^{n}x_{i}z_{i} & \summe_{i=1}^{n}y_{i}z_{i} &\summe_{i=1}^{n}z_{i}^{2}}[/mm]
>
> >
> > Soweit richtig?
>
> Ja.
>
> > Kann ich jetzt aus den Voraussetzungen folgern, dass die
> > Spaltenvektoren dieser Matrix auch linear unabhängig
> > sind?
>
> Schau Dir mal
> symmetrische Matrizen
> an. Du stößt auf einen Zusammenhang mit einer eindeutig
> definierten Diagonalmatrix.
> Wann ist deren Determinante [mm]\not=0[/mm] ?
Ok, ich weiß jetzt also, dass die Matrix [mm] M*M^T [/mm] diagonalisierbar (im weiteren Sinne) ist und dass ich dann anhand der Diagonalelemente die Dimension ablesen kann (Wenn also alle Diagonalelemente ungleich 0 sind die Spaltenvektoren linear unabhängig).
Muss ich denn jetzt die Diagonalmatrix wirklich ausrechnen oder gibt es da irgendeinen Trick?
>
> Vielleicht hilft Dir auch die
> Cholesky-Zerlegung
> weiter, aber da hast Du ein paar in Deinem Fall nicht
> wirklich nötige Bedingungen. Eine Idee könnte es Dir
> trotzdem bringen.
Die kann ich ja nicht anwenden, da ich nicht weiß, ob die Matrix positiv definit ist. Und 'ne Idee habe ich leider auch nicht.
Ok, meine Matrix hat ja schon die Gestalt [mm] M*M^T, [/mm] aber ich kann doch das M jetzt nicht in eine Dreiecksmatrix und eine Diagonalmatrix zerlegen, da ich doch nicht weiß, welche Gestalt M hat.Oder?
>
> > Wenn ja, gilt die Rückrichtung dann auch?
>
> Diese Frage kannst Du beantworten, wenn Du den ersten Teil
> hast. Versprochen.
> Probiers mal.
Ok, ich bin noch beim ersten Teil
>
> > Habe irgendwie keine richtige Idee und komme wegen der
> > Summen auch nicht so wirklich weiter.
> >
> > Schöne Grüße Anna.
>
> Liebe Grüße,
> reverend
Liebe Grüße,
Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 16.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Anna,
schau mal hier, die vierte Eigenschaft.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 16.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hi Luis,
> Moin Anna,
>
> schau mal
> hier,
> die vierte Eigenschaft.
[mm] (Rang(M)=Rang(M*M^T))
[/mm]
>
Ah ja, super! Das ist ja genau das was ich zeigen will . Vielen Dank!
Mein Problem ist nur, ich will das gerne auch beweisen. Dazu vielleicht noch eine Idee?
Was ich weiß:
Zeilenrang=Spaltenrang [mm] \Rightarrow Rang(M)=Rang(M^T)=3 [/mm] (bzw. allgemein = n)
Aber dann weiß ich nicht weiter.
> vg Luis
Gürße Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mi 16.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ergoogle mal
rank matrix filetype:pdf.
Vielleicht hilft dir ja schon die Seite 2 hier weiter.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Do 17.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hi,
> ergoogle mal
>
> rank matrix filetype:pdf.
>
> Vielleicht hilft dir ja schon die Seite 2
> hier
> weiter.
Die hilft mir leider nicht weiter, da ich weder [mm] \mathcal{N}(A) [/mm] noch [mm] \mathcal{R}(A) [/mm] kenne. Was bedeuten die?
Ich habe mittlerweile zwar schon einen eigenen Beweis, aber der oben sieht so schön kurz aus. Wäre toll, wenn mir einer sagt, was die Dinger bedeuten.
Hier jetzt mein Beweis:
Sei [mm] v\in ker(M^{T}) [/mm]
[mm] \Rightarrow M^{T}v [/mm] =0
[mm] \Rightarrow MM^{T}v=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow M^{T}v\in [/mm] ker(M) und [mm] v\in Ker(MM^T)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] ker(MM^{T})\ge [/mm] dim [mm] ker(M^T)
[/mm]
Annahme: dim [mm] ker(M^T)< [/mm] dim [mm] ker(MM^T)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] w [mm] \not\in ker(M^T) [/mm] mit [mm] w\in ker(MM^T)
[/mm]
[mm] \Rightarrow MM^{T}w=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow M^{T}w \in [/mm] Ker(M)
[mm] \Rightarrow Ker(M)>ker(M^T) [/mm]
Wiederspruch zu Spaltenrang=Zeilenrang
Geht das so oder ist da ein Denkfehler drin?
Danke und Grüße Anna.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
