Produkt von Grenzwerten < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Sa 13.06.2009 | | Autor: | jani29 |
| Aufgabe | Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] f(x) und Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] g(x)
beide nicht existieren, dann existiert auch [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] (fg)(x)
nicht. |
Hallo,
ich bin mir bei meinem Ansatz nicht sicher, vielleicht findet jemand
Zeit einmal drüber zu schauen?
Die Behauptung ist falsch, Beweis durch Gegenbeispiel:
Wir betrachten [mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] f(x)=
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] g(x) mit [mm] f(x)=g(x)=\wurzel{x} [/mm] und
f:D->IR sowie g:D->IR.
Sei nun [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge mit
lim [mm] (a_{n})=-1 [/mm] für [mm] n->\infty, [/mm] dann lässt sich f und g nicht nicht
-1 stetig fortsetzen.
=> [mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] f(x)=
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] g(x) mit [mm] f(x)=g(x)=\wurzel{3}
[/mm]
existieren nicht. Es ist aber fg=x. Und es gilt für eine Folge
[mm] (a_{n}) [/mm] mit lim [mm] (a_{n})=-1 [/mm] für [mm] n->\infty:
[/mm]
f(lim [mm] (a_{n}))=f(-1)=-1,da [/mm] f in ganz IR stetig ist. Es folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] (fg)(x)=-1
LG
jani
PS: meines Empfindens nach steht dieses "dann lässt sich f und g
nicht auf -1 stetig fortsetzen." so wackelig, irgendwie unbegründet.
Was meint ihr?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 13.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist hier die Komposition (f(g(x)) gemeint oder f(x)*g(x)?
2. deine folge liegt ja ausserhalb des def. Gebietes von deinem f und g, damit kannst du gar nichts beweisen.
[mm] \wurzel{x} [/mm] ist nur fuer [mm] x\ge0 [/mm] definiert, da kannst du keine Divergenz oder Konvergenz von f bei x gegen -1 haben.
[mm] \wurzel{x} [/mm] divergiert nur fuer x gegen unendlich und das tut auch x.
Du brauchst schon nen richtigen Beweis, fuer die richtige Aussage.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 13.06.2009 | | Autor: | jani29 |
Hallo leduart,
danke fuer Deine Antwort.
> Hallo
> Ist hier die Komposition (f(g(x)) gemeint oder f(x)*g(x)?
Es ist nicht die Komposition f(g(x)) gemeint, sondern das Produkt,
also f(x)*g(x).
> 2. deine folge liegt ja ausserhalb des def. Gebietes von
> deinem f und g
Ja stimmt. Danke für den Hinweis.
LG
jani
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 13.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde mal versuchen, den Beweis per Kontraposition zu versuchen.
Also in Worten:
Der Limes [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)*g(x) [/mm] existiert, also existieren auch die "Teillimiten" [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow a}g(x)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Ich würde mal versuchen, den Beweis per Kontraposition zu
> versuchen.
Hallo,
da die Aussage nicht gilt, wird einem auch kein Beweis per Kontraposition gelingen...
Was zu tun ist, hat Al Chwarizmi doch schon längst erklärt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Wenn [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f(x) und wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] g(x)
> beide nicht existieren, dann existiert auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] (f(x)*g(x))
> nicht.
Hallo Jani,
bei deinem "Beweis" bin ich nicht recht mitgekommen.
Dass die Behauptung wohl falsch sein muss, liegt irgendwie
fast auf der Hand.
Was du als Gegenbeispiel brauchst, ist z.B. eine Funktion p ,
die für [mm] x\to{a} [/mm] einen Grenzwert hat, die man in ein Produkt von
Funktionen f und g zerlegen kann, welche beide für x gegen a
keinen Grenzwert haben. Das könntest du z.B. erreichen,
indem du zunächst zwei stetige, z.B. lineare Funktionen
u und v und eine Zahl a mit [mm] 0\not=u(a)\not=v(a)\not=0 [/mm] wählst und dann
f und g folgendermassen definierst:
[mm] f(x):=\begin{cases} u(x), & \mbox{für } xa \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x):=\begin{cases} v(x), & \mbox{für } xa \end{cases}
[/mm]
und $\ p(x):=f(x)*g(x)$ für [mm] x\in\IR\backslash [/mm] {a} .
Mit Hilfe der etwas exotischen "Dirichletfunktion" könnte
man sogar Funktionen f,g und p konstruieren für welche
p auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist, obwohl weder f noch g an irgend-
einer reellen Stelle a einen Grenzwert besitzen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
