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| Aufgabe | a) Sei [mm] A\in K^{m\times n} [/mm] und [mm] B\in K^{n\times m}. [/mm] Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] eig(AB)\cup [/mm] {0} [mm] =eig(BA)\cup [/mm] {0}.
b) Seien nun A,B quadratisch. Zeigen Sie, dass dann gilt:
eig(AB)=eig(BA). |
Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zum Thema Eigenwerte vom Produkt zweier rechteckiger Matrizen.
Meine Ideen:
Zur ersten Teilaufgabe habe ich mir zuerst die Frage gestellt was diese Null da zu tun haben soll. Da mir nichts dazu eingefallen ist, habe ich sie erstmal beiseite geschoben. Als Aufgabe sehe ich jetzt zu zeigen, dass die Eigenwerte der charakteristischen Polynome der beiden gleich sind. Wenn ich mir jetzt also die Produkte ansehe, so liefert mir AB eine [mm] m\times [/mm] m Matrix und BA eine [mm] n\times [/mm] n Matrix. Die charakterisitschen Polynome der beiden müssten also höchstens den Grad m respektive n haben. Folglich haben sie höchstens m repsektive n Nullstellen und damit Eigenwerte. Ich nehme also oBdA an, dass m>n ist. Das charakteristische Polynom von AB hat dann die Form
[mm] \chi_{AB}=x^{m}-trace(AB)x^{m-1}+\alpha_{m-2}x^{m-2}+\cdots +\alpha_{1}x+(-1)^{m}det(AB). [/mm] Entsprechend bekommt man das charakteristische Polynom von BA, nämlich
[mm] \chi_{BA}=x^{n}-trace(BA)x^{n-1}+\beta_{n-2}x^{n-2}+\cdots +\beta_{1}x+(-1)^{n}det(BA).
[/mm]
Und hier hängt die Sache. Ich habe zwei Ideen. Zum einen, wenn die Eigenwerte gleich sind, dann könnte ich doch die Polynome gleichsetzen und prüfen ob sie sich gegenseitig aufheben. Doch da der Grad des einen größer war, als der des anderen muss ja etwas übrig bleiben. Außerdem kenne ich die Koeffizienten zum Teil nicht.
Die zweite Idee war, dass trace(AB)=trace(BA) und det(AB)=det(BA). In diesem Fall würde sich det(AB) mit det(BA) beim Gleichsetzen aufheben, wenn m=n bzw. wenn die Vorzeichen der Determinanten übereinstimmen. Dann könnte ich ja auf einer Seite ein x ausmultiplizieren, sodass ich auf der einen Seite x mal einem Polynom des Grades [mm] x^{m-1} [/mm] stehen haben würde. Dann wäre eine Nullstelle die Null und der Teil in der Aufgabe mit der Menge {0} hätte sich geklärt.
Die zweite Teilfaufgabe wollte ich zuerst über die Tatsache lösen, dass die Eigenwerte ähnlicher Matrizen gleich sind. Denn es ist ja
[mm] AB=B^{-1}BAB. [/mm] Allerdings ist mir dann eigefallen, dass ich ja nicht weiß, ob die beiden tatsächlich invertierbar sind. Ich würde mal spontan vermuten, dass mir der erste Aufgabenteil sehr bei der Lösung helfen wird Augenzwinkern .
Soviel zu meinen Ideen, ich hoffe ich habe zumindest in die richtige Richtung gedacht...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=454558
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 01.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Zur 1.) Aufgabe:
Du schreibst, dass die zwei Polynome gleich sein müssten und vernachlässigst dabei eben die Vereinigung mit 0. Es lässt sich doch daraus schliessen, dass die Eigenwerte des Polynomes mit dem höheren Grad m, (m-n) mind mal 0 sein müssen.
Die Nullstellen eines Polynoms lassen sich ab einem gewissen Grad ja nicht mehr durch Formeln analytisch berechnen, deshalb würd ich es über einen anderen Weg versuchen. (Sonst frag nochmal...)
Zur 2.) Aufgabe:
Mal angenommen man könne A und B in Form von [mm] T^{-1}*D*T [/mm] schreiben (also linear unabhängige Eigenvektoren), dann kann man schreiben
A*B = [mm] T_{A}^{-1}*D_{A}*T_{A}*T_{B}^{-1}*D_{B}*T_{B}.
[/mm]
und
B*A = [mm] T_{B}^{-1}*D_{B}*T_{B}*T_{A}^{-1}*D_{A}*T_{A}
[/mm]
Falls wir diese [mm] T_{A}*T_{B}^{-1} [/mm] bzw. [mm] T_{B}*T_{A}^{-1} [/mm] wegbringen würden oder wüssten dass es [mm] eig(D_{A}*T_{A}*T_{B}^{-1}*D_{B}) [/mm] = [mm] eig(D_{B}*T_{B}*T_{A}^{-1}*D_{A}) [/mm] wäre es gezeigt.
[mm] T_{A}*T_{B}^{-1} [/mm] bzw. [mm] T_{B}*T_{A}^{-1} [/mm] ist im allgemeinen nicht die Einheitsmatrix. Aber die T Matrizen sind ja nur Drehungen! D.h. mal sicher dass sie kommutieren. Jetzt müsste man es irgendwie daraus zeigen können...geometrisch oder so...
Weil [mm] T_{A}*T_{B}^{-1} [/mm] = [mm] T_{B}^{-1}*T_{A} [/mm] ist [mm] [T_{A}*T_{B}^{-1}]^{-1} [/mm] = [mm] T_{B}*T_{A}^{-1}.
[/mm]
Folglich ist die Frage: Bleiben die Eigenwerte erhalten, wenn ich den Vektor x mit [mm] D_{B} [/mm] abbilde, dann in positive richtung Drehe und dann mit [mm] D_{A} [/mm] abbilde wie wenn ich x zuerst mit [mm] D_{A} [/mm] abbilde, dann in die negative Richtung drehe und dann mit [mm] D_{B} [/mm] abbilde?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Es genügt zu zeigen: aus I-AB invertierbar folgt: I-BA invertierbar. Dafür zeige:
[mm] (I-BA)(I-B(I-AB)^{-1}A)=I
[/mm]
Zu b): Wegen a) ist nur noch zu zeigen: det(AB)=0 [mm] \gdw [/mm] det(BA)=0, aber das ist fast trivial, denn det(AB)=det(A(*det(B)
FRED
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Also erstmal danke an euch beide! Ich hab die a in so fern gelost, als dass ich gesagt habe [mm] [latex]ABv=\alpha v[\latex] [/mm] und auf beiden Seiten B von Links muhltiplizierg habe. Dann hat sich ein neuer Vektor w ergeben und den hab ich als eigenvektor von BA genommen mit dem [mm] [latex]\alpha[\latex] [/mm] äks eigenwert. Natürlich mit der Bedingung, dass w nicht 0 ist.
Bei der b versteh ich eure beiden Ansätze nicht! Bei qsxqsx geh ich mal davon aus, dass ich eine transformationsmatrix finden soll, sodass BA ähnlich zu AB ist. Damit hatten ja beide Matrizen das gleiche Char. Polynom und damit auch die gleichen eigenwerte.
Fred kannst du vlt nochmal ausführlich erklären was du bei der a meinst? Das scheint mir nämlich einfacher als meine Art zu sein!
Vielen dank an euch beide!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 05.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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