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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | $p$ Primzahl. Dann
[mm] $\IQ_p:=\{\summe_{i=-k}^{\infty}a_ip^i|a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}$ [/mm] |
Hallo an alle,
Ich wollte noch zeigen, dass die obige Menge (p-adische Zahlen) ein Körper sind. Wie wird denn dort das Produkt definiert?
Ich danke für eure Hilfe
Denny
P.S.: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Sa 14.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> [mm]p[/mm] Primzahl. Dann
>
> [mm]\IQ_p:=\{\summe_{i=-k}^{\infty}a_ip^i|a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}[/mm]
> Hallo an alle,
>
> Ich wollte noch zeigen, dass die obige Menge (p-adische
> Zahlen) ein Körper sind. Wie wird denn dort das Produkt
> definiert?
Genauso wie man bei der Addition vorgeht: Man muss jeweils einen Uebertrag mitnehmen, wie bei der Addition und Multiplikation etwa im Dezimalsystem. Wenn du zwei Dezimalzahlen [mm] $\sum_{i=-k}^n a_i 10^i$ [/mm] und [mm] $\sum_{i=-\ell}^m b_i 10^i$ [/mm] hast, dann hast du da auch Probleme, dies schoen in der Form [mm] $\sum_{i=-d}^e c_i 10^i$ [/mm] auszudruecken mit $0 [mm] \le c_i [/mm] < 10$.
Deswegen benutzt man bei den $p$-adischen Zahlen auch gerne eine andere Darstellung, und zwar nimmt man die Folge [mm] $(\sum_{i=-k}^n a_i p^i)_{n \ge -k}$ [/mm] der Partialsummen. Diese hat die Eigenschaft, dass die $n$-te mit der $n+1$-ten Partialsumme modulo [mm] $p^n$ [/mm] uebereinstimmt. Hier kann man einfach komponentenweise addieren und multiplizieren. (Wobei man die $n$-te Komponente in [mm] $\IQ/p^n\IZ$ [/mm] interpretiert, man rechnet also modulo [mm] $p^n$.)
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo felix,
ich danke Dir zunächs für deine Antwort. Könntest du mir vielleicht einmal andeuten, wie ich den Beweis für die kommutativität der muliplikation durchführen sollte.
Vielen Dank
Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 So 15.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> ich danke Dir zunächs für deine Antwort. Könntest du mir
> vielleicht einmal andeuten, wie ich den Beweis für die
> kommutativität der muliplikation durchführen sollte.
Na das haengt ganz stark von der Darstellung der $p$-adischen Zahlen ab, die du waehlst. Wenn du es ueber die Folgen-Methode machst ist es sofort klar, da dies dann auf die normale Multiplikation modulo [mm] $p^n$ [/mm] zurueckgefuehrt wird.
LG Felix
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