Produkt zweier Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 08.04.2008 | | Autor: | bonczi |
hallo leute,
habe mal eine frage. wenn ich jetzt ein integral der form [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) * g(x) dx} [/mm] berechnen soll. gibt es dafür irgendeine formel? oder habt ihr eine idee, wie man das lösen könnte?
habe als beispiel: [mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{x*arctanx dx}
[/mm]
die stammfunktion von x wäre: [mm] \bruch{1}{2}x²
[/mm]
und die stammfunktion von arctanx: x*arctan(x) - 1/2 ln(1+x²)
aber wie jetzt weiter???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo leute,
> habe mal eine frage. wenn ich jetzt ein integral der form
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) * g(x) dx}[/mm] berechnen soll. gibt es
> dafür irgendeine formel? oder habt ihr eine idee, wie man
> das lösen könnte?
> habe als beispiel: [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{x*arctanx dx}[/mm]
>
> die stammfunktion von x wäre: [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm]
bitte nicht die Stammfunktion sagen, sondern eine, denn jede Funktion, die sich von der obigen nur um eine konstante (Funktion) unterscheidet, ist ja auch eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto [/mm] x$ (Stammfunktion sind nur eindeutig bis auf eine Konstante!).
> und die eine stammfunktion von arctanx: x*arctan(x) - 1/2
> ln(1+x²)
> aber wie jetzt weiter???
Ja, da gibt es die sogenannte Produktintegration, geläufiger ist der Begriff "Partielle Integration":
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration
Das heißt, setze bei
[mm] $\int_{0}^{\sqrt{3}}x*\arctan(x)dx=\int_{0}^{\sqrt{3}}\arctan(x)*xdx$
[/mm]
dann [mm] $f(x)=\arctan(x)$ [/mm] und $g'(x)=x$, den ersten Teil der rechten Seite steht mit Deinen obigen Überlegungen quasi schon da, und zu dem rechts auftauchenden Integral sage ich Dir gleich etwas:
[mm] $\int_{0}^{\sqrt{3}}\arctan(x)*xdx=\left[\arctan(x)*\underbrace{\frac{1}{2}x^2}_{=g(x)}\right]_{x=0}^{x=\sqrt{3}}-\int_{0}^{\sqrt{3}}\underbrace{\frac{1}{1+x^2}}_{=f\,'(x)=\arctan\,'(x)}*\frac{1}{2}x^2dx$
[/mm]
Um [mm] $\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$ [/mm] zu berechnen:
Es gilt
[mm] $\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=\int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx=\int 1dx-\int\frac{1}{1+x^2}dx$
[/mm]
und oben steht schon, dass [mm] $f'(x)=\arctan\,'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
[/mm]
(vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens:
[mm] $\arctan\,'(x)=\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$)
[/mm]
Also [mm] $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)$ [/mm] (bzw. "formal" genauer: Mit [mm] $f\,'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ [/mm] und [mm] $f(x)=\arctan(x)$ [/mm] gilt [mm] $\int f\,'=\int f\,'(x)dx=f$).
[/mm]
Damit brauchst Du oben nur noch den Hauptsatz der Integralrechnung anzuwenden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 08.04.2008 | | Autor: | bonczi |
wow! das hast du ja echt super erklärt ;) da wäre ich nie draufgekommen..
also habe jetzt den hauptsatz angewandt:
( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *3 * arctan [mm] (\wurzel{3}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} (\wurzel{3} [/mm] - [mm] arctan(\wurzel{3}) [/mm] )) - [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] *0 * arctan (0) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (0 - arctan(0)) )
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * arctan [mm] (\wurzel{3}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(\wurzel{3} [/mm] - [mm] arctan(\wurzel{3})) [/mm]
=90 - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] -30
=60 - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wow! das hast du ja echt super erklärt ;) da wäre ich nie
> draufgekommen..
>
> also habe jetzt den hauptsatz angewandt:
>
> ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *3 * arctan [mm](\wurzel{3})[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} (\wurzel{3}[/mm]
> - [mm]arctan(\wurzel{3})[/mm] )) - [mm](\bruch{1}{2}[/mm] *0 * arctan (0) -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (0 - arctan(0)) )
>
> = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] * arctan [mm](\wurzel{3})[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}(\wurzel{3}[/mm] - [mm]arctan(\wurzel{3}))[/mm]
>
> [mm] =\blue{90} [/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] [mm] -$\blue{30}$
[/mm]
Hier ist der "Vorzeichenfehler":
Du musst anstatt [mm] $\blue{90}-\frac{\sqrt{3}}{2}\red{-}\blue{30}$ [/mm] halt [mm] $\blue{90}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\blue{30}\right)$ [/mm] schreiben, was dann
[mm] $=\blue{90}-\frac{\sqrt{3}}{2}\green{+}\blue{30}$
[/mm]
ist.
>
> =60 - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm] $=\blue{120}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, [/mm] wobei, wie unten angemerkt, halt bei den blauen Zahlen eigentlich ein $^{°}$ dabeistehen sollte!
> ist das so richtig?
da wirst Du auf jeden Fall einen Fehler drin haben. Denn es ist nicht [mm] $\arctan(\sqrt{3})=60$, [/mm] sondern [mm] $\arctan(\sqrt{3})=60°$, [/mm] was im Bogenmaß den Wert [mm] $\frac{\pi}{3}$ [/mm] hat. Das heißt:
[mm] $\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$ [/mm]
(Hinweis beim Rechnen mit dem Taschenrechner: Beachte, dass Du ihn nicht auf "Deg", sondern auf "Rad" stehen hast!)
Ich schreibe Dir mal meine Rechnung auf:
[mm] $\int \arctan(x)*xdx=\frac{1}{2}*\left(x^2\arctan(x)-x+\arctan(x)\right)=:\frac{1}{2}F(x)$ [/mm]
(Beachte, dass ich (aus formalen, aber nicht wichtigen Gründen) [mm] $F(x):=x^2\arctan(x)-x+\arctan(x)$ [/mm] definiert habe und damit dann gilt, dass [mm] $\frac{1}{2}*F(x)$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=x*\arctan(x)$ [/mm] ist (das habe ich mittels part. Integration errechnet).)
Damit:
[mm] $\int_{0}^{\sqrt{3}}x*arctan(x)dx=\frac{1}{2}(F(\sqrt{3})-\underbrace{F(0)}_{=0})=\frac{1}{2}\left(3*\underbrace{\arctan(\sqrt{3})}_{=\frac{\pi}{3}}-\sqrt{3}+\arctan(\sqrt{3})\right)=2*\arctan(\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
Wenn Du bei Dir oben anstelle von $60$ mal $60°$ einsetzt, fällt auf:
An einer Stelle wirst Du wohl anstatt $90°+30°$ dort $90°-30°$ gerechnet haben. Das heißt, bei Deiner Rechnung sollte am Ende stehen (sofern dieser "Vorzeichen"-Fehler nicht schon in Deiner Stammfunktion steckt):
[mm] $120°-\frac{\sqrt{3}}{2}$, [/mm] und anstatt $120°$ musst Du halt den Winkel im Bogenmaß nehmen, d.h. [mm] $120°=\frac{2}{3}*\pi$ [/mm] einsetzen. Dann passt's.
Aber:
Abgesehen davon, dass Du wohl einen Flüchtigkeits-Vorzeichenfehler in Deiner Rechnung hast und dass Du im Gradmaß anstelle des Bogenmaßes gerechnet hast, ist das okay.
Eine Anmerkung:
Bitte halt in Zukunft drauf achten, ob Du im Gradmaß oder im Bogenmaß rechnest und was sinnvoller ist. Denn z.B. hier:
Natürlich:
$120°$ entsprechen [mm] $\frac{2}{3}\pi$, [/mm] und das ist weit von $120$ entfernt 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mi 09.04.2008 | | Autor: | bonczi |
dankeschön!!! hast du echt super erklärt ;) man gut, dass dir das mit den bogenmaß aufgefallen ist *g*
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