Produktansatz Bernoulli < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mi 21.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
| Aufgabe | Hallo habe euch ein Bild angehängt wo die Aufgabe abgetippt ist .
Damit ihr es besser erkennen könnt.
Wie der Produktansatz funktioniert weiss ich.
Aber ich verstehe nicht so ganz wie ich bei der Aufgabe beginnen soll? |
nicht gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo habe euch ein Bild angehängt wo die Aufgabe
> abgetippt ist .
>
> Damit ihr es besser erkennen könnt.
>
> Wie der Produktansatz funktioniert weiss ich.
>
> Aber ich verstehe nicht so ganz wie ich bei der Aufgabe
> beginnen soll?
Das wundert mich nun doch ! Oben schreibst Du: "Wie der Produktansatz funktioniert weiss ich."
Wenn Du das kennst, so ist doch klar, wie Du beginnen musst !
Für die gesuchte Funktion u machst Du den Ansatz
$u(x,y)=f(x)g(y).$
Mir fällt gerade auf, dass die Aufgabe ziemlich bescheuert ist ! Warum ?
Darum: wir benötigen nur 2 der Randbedingungen, um u dingfest zu machen !
Aus u(x,1)=2x, folgt f(x)g(1)=2x für alle x [mm] \in [/mm] [0,1], also auch f(1)g(1)=2. Damit ist g(1) [mm] \ne [/mm] 0 und somit
[mm] f(x)=\frac{2}{g(1)}x.
[/mm]
Aus der Randbedingung u(1,y)=2y folgt analog:
[mm] g(y)=\frac{2}{f(1)}y.
[/mm]
Mit f(1)g(1)=2 bekommt man dann
(*) u(x,y)=2xy.
Benutzt haben wir weder die zwei anderen Randbedingungen, noch die Eigenschaft [mm] $\Delta [/mm] u=0$.
Wie man durch einfachstes nachrechnen sofort sieht, löst die Funktion in (*) das Dirichletproblem.
Ich bin nicht im Bilde ob Ihr das hattet: aus der Theorie ist bekannt, dass das obige Randwertproblem genau eine Lösung hat.
Fazit: u(x,y)=2xy ist die eindeutig bestimmte Lösung des Randwertproblems !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
Wir machen meistens so einen Weg in der Vorlesung .
Keine Ahnung ob der richtig angewendet ist ?
Ich stelle es einfach rein
delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0
W"(x)/W(x) = - Y"(y) /Y(y) = K
W"(x) = K*W(x)
Y"(y) = -K*Y(y)
Zweite Term charakteristisches Polynom:
[mm] lambda^2 [/mm] +K = 0
lambda 1 , 2 = +-i√K
Das war ja der Fall K>0
Y(y) [mm] =c_1*sin(√K *y)+c_2* [/mm] cos(√K *y)
Grenzen x = 0, y= 1 einsetzen oder ?
Y(0) = [mm] c_2 [/mm] = 0
Y(1) = bleibt nur sin term übrig also :
sin(√K *1)= 0 Richtig soweit ?
K= 0
Y(y) = [mm] c_1*y+c_2
[/mm]
Y(0) = c2=0
Y(1) = [mm] c_1 [/mm] = 0 Richtig ?
Fall K<0
charakteristisches Polynom :
[mm] lambda^2 [/mm] = K
lambda1,2 = +-√K
Y(y) = [mm] c_1*e^{√K *y}+c_2* e^{√K *y}
[/mm]
Y(0) = [mm] c_1=c_2 [/mm] = 0
Y(1) = dann würde die e FUnktion übrig bleiben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Wir machen meistens so einen Weg in der Vorlesung .
> Keine Ahnung ob der richtig angewendet ist ?
>
> Ich stelle es einfach rein
> delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0
>
>
> W"(x)/W(x) = - Y"(y) /Y(y) = K
>
>
> W"(x) = K*W(x)
> Y"(y) = -K*Y(y)
> Zweite Term charakteristisches Polynom:
> [mm]lambda^2[/mm] +K = 0
> lambda 1 , 2 = +-i√K
>
> Das war ja der Fall K>0
> Y(y) [mm]=c_1*sin(√K *y)+c_2*[/mm] cos(√K *y)
> Grenzen x = 0, y= 1 einsetzen oder ?
>
>
> Y(0) = [mm]c_2[/mm] = 0
> Y(1) = bleibt nur sin term übrig also :
> sin(√K *1)= 0 Richtig soweit ?
> K= 0
> Y(y) = [mm]c_1*y+c_2[/mm]
> Y(0) = c2=0
> Y(1) = [mm]c_1[/mm] = 0 Richtig ?
>
>
> Fall K<0
> charakteristisches Polynom :
> [mm]lambda^2[/mm] = K
> lambda1,2 = +-√K
> Y(y) = [mm]c_1*e^{√K *y}+c_2* e^{√K *y}[/mm]
>
>
>
> Y(0) = [mm]c_1=c_2[/mm] = 0
> Y(1) = dann würde die e FUnktion übrig bleiben ?
1. Obiges ist kaum lesbar ! Ich schaue mir es durch, sobald Du das ordentlich formatiert hat.
2. Ja, obiges ist der übliche Weg.
Wenn Du obiges ordentlich(!) durchrechnest, so solltest Du feststellen, dass es im Falle K [mm] \ne [/mm] 0 keine Lösung gibt !
Es bleibt also nur der Fall K=0.
Das bedeutet dann W''=0=Y''. Arbeitet man noch die Randbedingungen ein, so bekommmt man u(x,y)=2xy. Probiers mal.
Zu diesem Ergebnis kommt man aber viel einfacher. Das habe ich Dir in meiner ersten Antwort vorgemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
> > Wir machen meistens so einen Weg in der Vorlesung .
> > Keine Ahnung ob der richtig angewendet ist ?
> >
> > Ich stelle es einfach rein
> > delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0
> >
> >
> > W"(x)/W(x) = - Y"(y) /Y(y) = K
> >
> >
> > W"(x) = K*W(x)
> > Y"(y) = -K*Y(y)
> > Zweite Term charakteristisches Polynom:
> > [mm]lambda^2[/mm] +K = 0
> > lambda 1 , 2 = +-i√K
> >
> > Das war ja der Fall K>0
> > Y(y) [mm]=c_1*sin(√K *y)+c_2*[/mm] cos(√K *y)
> > Grenzen x = 0, y= 1 einsetzen oder ?
> >
> >
> > Y(0) = [mm]c_2[/mm] = 0
> > Y(1) = bleibt nur sin term übrig also :
> > sin(√K *1)= 0 Richtig soweit ?
> > K= 0
> > Y(y) = [mm]c_1*y+c_2[/mm]
> > Y(0) = c2=0
> > Y(1) = [mm]c_1[/mm] = 0 Richtig ?
> >
> >
> > Fall K<0
> > charakteristisches Polynom :
> > [mm]lambda^2[/mm] = K
> > lambda1,2 = +-√K
> > Y(y) = [mm]c_1*e^{√K *y}+c_2* e^{√K *y}[/mm]
> >
> >
> >
> > Y(0) = [mm]c_1=c_2[/mm] = 0
> > Y(1) = dann würde die e FUnktion übrig bleiben ?
>
> 1. Obiges ist kaum lesbar ! Ich schaue mir es durch, sobald
> Du das ordentlich formatiert hat.
>
> 2. Ja, obiges ist der übliche Weg.
>
> Wenn Du obiges ordentlich(!) durchrechnest, so solltest Du
> feststellen, dass es im Falle K [mm]\ne[/mm] 0 keine Lösung gibt
> !
>
> Es bleibt also nur der Fall K=0.
>
> Das bedeutet dann W''=0=Y''. Arbeitet man noch die
> Randbedingungen ein, so bekommmt man u(x,y)=2xy. Probiers
> mal.
>
> Zu diesem Ergebnis kommt man aber viel einfacher. Das habe
> ich Dir in meiner ersten Antwort vorgemacht.
>
Ja ich wollte es auch noch über diesen Weg machen ,da es ja in der Klausur auch so dran kommen könnte .
Aber in meiner Rechnung komme ich ja leider nicht auf 2xy?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Wir machen meistens so einen Weg in der Vorlesung .
> > > Keine Ahnung ob der richtig angewendet ist ?
> > >
> > > Ich stelle es einfach rein
> > > delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0
> > >
> > >
> > > W"(x)/W(x) = - Y"(y) /Y(y) = K
> > >
> > >
> > > W"(x) = K*W(x)
> > > Y"(y) = -K*Y(y)
> > > Zweite Term charakteristisches Polynom:
> > > [mm]lambda^2[/mm] +K = 0
> > > lambda 1 , 2 = +-i√K
> > >
> > > Das war ja der Fall K>0
> > > Y(y) [mm]=c_1*sin(√K *y)+c_2*[/mm] cos(√K *y)
> > > Grenzen x = 0, y= 1 einsetzen oder ?
> > >
> > >
> > > Y(0) = [mm]c_2[/mm] = 0
> > > Y(1) = bleibt nur sin term übrig also :
> > > sin(√K *1)= 0 Richtig soweit ?
> > > K= 0
> > > Y(y) = [mm]c_1*y+c_2[/mm]
> > > Y(0) = c2=0
> > > Y(1) = [mm]c_1[/mm] = 0 Richtig ?
> > >
> > >
> > > Fall K<0
> > > charakteristisches Polynom :
> > > [mm]lambda^2[/mm] = K
> > > lambda1,2 = +-√K
> > > Y(y) = [mm]c_1*e^{√K *y}+c_2* e^{√K *y}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Y(0) = [mm]c_1=c_2[/mm] = 0
> > > Y(1) = dann würde die e FUnktion übrig bleiben ?
> >
> > 1. Obiges ist kaum lesbar ! Ich schaue mir es durch, sobald
> > Du das ordentlich formatiert hat.
> >
> > 2. Ja, obiges ist der übliche Weg.
> >
> > Wenn Du obiges ordentlich(!) durchrechnest, so solltest Du
> > feststellen, dass es im Falle K [mm]\ne[/mm] 0 keine Lösung gibt
> > !
> >
> > Es bleibt also nur der Fall K=0.
> >
> > Das bedeutet dann W''=0=Y''. Arbeitet man noch die
> > Randbedingungen ein, so bekommmt man u(x,y)=2xy. Probiers
> > mal.
> >
> > Zu diesem Ergebnis kommt man aber viel einfacher. Das habe
> > ich Dir in meiner ersten Antwort vorgemacht.
> >
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> Ja ich wollte es auch noch über diesen Weg machen ,da es
> ja in der Klausur auch so dran kommen könnte .
> Aber in meiner Rechnung komme ich ja leider nicht auf 2xy?
Zeig Deine Rechnungen !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
Fall K = 0
Y(y) [mm] =c_1*x+c_2
[/mm]
Y(0) = 0 = [mm] c_2 [/mm] = 0
Y(1 ) = [mm] c_1 [/mm] = 0
Meintest du diese Rechnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Fall K = 0
>
> Y(y) [mm]=c_1*x+c_2[/mm]
y ? x ?
>
> Y(0) = 0 = [mm]c_2[/mm] = 0
> Y(1 ) = [mm]c_1[/mm] = 0
Wie kommst den Du auf diese Gleichungen ???
Im Falle K=0 haben wir
[mm] Y(y)=c_1y+c_2 [/mm] und [mm] W(x)=b_1x+b_2. [/mm]
Also ist
[mm] u(x,y)=(b_1x+b_2)(c_1y+c_2).
[/mm]
Wenn Du nun die 4 Randbedingungen einarbeitest, solltest Du bekommen;
u(x,y)=2xy.
Z.B.:
[mm] 0=u(x,0)=(b_1x+b_2)c_2=b_1c_2x+b_2c_2.
[/mm]
Das gilt für alle x zwischen 0 und 1. Dann folgt [mm] b_1c_2=0=b_2c_2.
[/mm]
Verfahre ähnlich mit den 3 weiteren Randbedingungen.
>
>
> Meintest du diese Rechnung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
Ich habe noch erst eine Zwischenfrage wieso muss ich plötzlich die x Bedingungen und y Bedingungen gemeinsam betrachten ?
Ich hatte doch in meiner vorigen Rechnung nur die Y DGL betrachtet mit den einzelnen Fällen lambda = 0 ,<0,>0 usw
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe noch erst eine Zwischenfrage wieso muss ich
> plötzlich die x Bedingungen und y Bedingungen gemeinsam
> betrachten ?
Hä ? Ich verstehe nicht wovon Du sprichst .
>
> Ich hatte doch in meiner vorigen Rechnung nur die Y DGL
> betrachtet mit den einzelnen Fällen lambda = 0 ,<0,>0 usw
Und ????
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
[mm]u(x,y)=(b_1x+b_2)(c_1y+c_2).[/mm]
u(x,y) = [mm] b_1x*c_1y+b_1x*c_2+b_2*c_1y+b_2*c_2)
[/mm]
u(x,0) [mm] =b_1x*c_2 +b_2*c_2 [/mm] = 0
u(0,y) = [mm] b_2*c_1y+b_2*c_2 [/mm] =0
u(x,1) = [mm] b_1*x*c_1+b_1*x*c_2+b_2*c_1+b_2*c_2 [/mm] =2x
u(1,y) = [mm] b_1*c_1y+b_1*c_2+b_2*c_1*y+b_2*c_2 [/mm] = 2y
Das sind die 4 Randbedingunen .
Muss man einfach einen Fall aussuchen und in dem Fall beide x und y zusammen betrachten oder wie?
Was mache ich jetzt genau mit den 4 Randbedingungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> [mm]u(x,y)=(b_1x+b_2)(c_1y+c_2).[/mm]
>
> u(x,y) = [mm]b_1x*c_1y+b_1x*c_2+b_2*c_1y+b_2*c_2)[/mm]
>
> u(x,0) [mm]=b_1x*c_2 +b_2*c_2[/mm] = 0
Das gilt für alle(!) x zwischen 0 und 1, also:
[mm] b_1c_2 =0=b_2c_2
[/mm]
>
> u(0,y) = [mm]b_2*c_1y+b_2*c_2[/mm] =0
Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also
[mm] b_2*c_1=0=b_2*c_2
[/mm]
>
> u(x,1) = [mm]b_1*x*c_1+b_1*x*c_2+b_2*c_1+b_2*c_2[/mm] =2x
Das gilt für alle x zwischen 0 und 1, also ........
>
> u(1,y) = [mm]b_1*c_1y+b_1*c_2+b_2*c_1*y+b_2*c_2[/mm] = 2y
Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also ........
>
> Das sind die 4 Randbedingunen .
>
> Muss man einfach einen Fall aussuchen und in dem Fall beide
> x und y zusammen betrachten oder wie?
>
> Was mache ich jetzt genau mit den 4 Randbedingungen?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
> > [mm]u(x,y)=(b_1x+b_2)(c_1y+c_2).[/mm]
> >
> > u(x,y) = [mm]b_1x*c_1y+b_1x*c_2+b_2*c_1y+b_2*c_2)[/mm]
> >
> > u(x,0) [mm]=b_1x*c_2 +b_2*c_2[/mm] = 0
>
> Das gilt für alle(!) x zwischen 0 und 1, also:
>
> [mm]b_1c_2 =0=b_2c_2[/mm]
> >
> > u(0,y) = [mm]b_2*c_1y+b_2*c_2[/mm] =0
>
>
> Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also
>
> [mm]b_2*c_1=0=b_2*c_2[/mm]
> >
> > u(x,1) = [mm]b_1*x*c_1+b_1*x*c_2+b_2*c_1+b_2*c_2[/mm] =2x
>
> Das gilt für alle x zwischen 0 und 1, also ........
[mm] b_1*c_1+b_1*c_2 [/mm] =2x = [mm] b_2*c_1+b_2*c_2> [/mm]
u(1,y) = [mm]b_1*c_1y+b_1*c_2+b_2*c_1*y+b_2*c_2[/mm] = 2y
> Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also ........
[mm] b_1*c_1+b_2*c_1 [/mm] = 2y = [mm] b_1*c_2+b_2*c_2
[/mm]
So oder ?
Wie ist die weitere Vorgehensweise ?
Setzt man das alles immer in dem Fall K= 0ein oder wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]u(x,y)=(b_1x+b_2)(c_1y+c_2).[/mm]
> > >
> > > u(x,y) = [mm]b_1x*c_1y+b_1x*c_2+b_2*c_1y+b_2*c_2)[/mm]
> > >
> > > u(x,0) [mm]=b_1x*c_2 +b_2*c_2[/mm] = 0
> >
> > Das gilt für alle(!) x zwischen 0 und 1, also:
> >
> > [mm]b_1c_2 =0=b_2c_2[/mm]
> > >
> > > u(0,y) = [mm]b_2*c_1y+b_2*c_2[/mm] =0
> >
> >
> > Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also
> >
> > [mm]b_2*c_1=0=b_2*c_2[/mm]
> > >
> > > u(x,1) = [mm]b_1*x*c_1+b_1*x*c_2+b_2*c_1+b_2*c_2[/mm] =2x
> >
> > Das gilt für alle x zwischen 0 und 1, also ........
>
> [mm]b_1*c_1+b_1*c_2[/mm] =2x = [mm]b_2*c_1+b_2*c_2>[/mm]
Was machst Du da ??? Das ist doch völliger Blödsinn.
Wir haben
[mm]b_1*x*c_1+b_1*x*c_2+b_2*c_1+b_2*c_2[/mm] =2x
also (nur ordentlich zusammengefasst)
[mm] (b_1c_1+b_1c_2)x+b_2*c_1+b_2*c_2=2x
[/mm]
Oben haben wir festgestellt: [mm] b_1c_2=b_2c_2=b_2c_1=0, [/mm] also
$b_1c_1x=2x$ für alle x zwischen 0 und 1.
Fazit: [mm] b_1c_1=2.
[/mm]
Das reicht schon für u(x,y)=2x.
> u(1,y) = [mm]b_1*c_1y+b_1*c_2+b_2*c_1*y+b_2*c_2[/mm] = 2y
>
> > Das gilt für alle y zwischen 0 und 1, also ........
>
> [mm]b_1*c_1+b_2*c_1[/mm] = 2y = [mm]b_1*c_2+b_2*c_2[/mm]
>
> So oder ?
>
> Wie ist die weitere Vorgehensweise ?
s.o.
> Setzt man das alles immer in dem Fall K= 0ein oder wie?
Oder wie ? Ein Kochrezept für all solche Aufgaben gibt es nicht. Ein ganz klein wenig nachdenken und eigenständiges Arbeiten ist in der Mathematik ab und zu angebracht ....
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Do 22.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
Danke . Das mit 2y ist ja analog.
Da hat mir doch bisschen Wissen gefehlt.
Aber ich frage trotzdem nochmal ,woher weiss man oder erkennt man an welcher Bedingung
man dann schlussendlich die Ranbedingungen einsetzt ?
Sonst könnte man ja Stunden rechnen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Do 22.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Danke . Das mit 2y ist ja analog.
> Da hat mir doch bisschen Wissen gefehlt.
>
> Aber ich frage trotzdem nochmal ,woher weiss man oder
> erkennt man an welcher Bedingung
>
> man dann schlussendlich die Ranbedingungen einsetzt ?
> Sonst könnte man ja Stunden rechnen
Quatsch !
Wir hatten doch u(x,y)=(ax+b)(cx+d). Das hatten wir ohne die Randbedingungen gefunden.
Die natürlichste Frage ist doch nun: wenn u eine Lösung des Randwertproblems ist, wie sehen dann a,b,c und d aus ?
Na ja, wie kriegt man das raus ? Na klar, man verarbeitet die gegeben Randbedingungen. Was sonst ??
Machen wir ein weiteres Beispiel (eine Randwertaufgabe). löse das Randwertproblem
$y''=y$, y(0)=0, y(1)=1.
Wie geht man vor ? Man bestimmt zunächst die allg. Lösung der DGL. Die lautet hier
(*) [mm] y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}.
[/mm]
Wie bekomme ich nun die Lösung der Randwertaufgabe ? Na klar, ich setze in (*) die Randbedingungen ein, bekomme 2 Gleichungen für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2, [/mm] löse das Gleichungssystem und bin happy.
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