Produktformel beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 25.10.2009 | | Autor: | tobster |
| Aufgabe | Zeigen Sie noch allgemeiner, dass für n,m [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m} [/mm] (k+p) = [mm] \bruch{1}{m+2} \produkt_{l=0}^{m+1} [/mm] (n+p)
Dabei ist [mm] \produkt_{p=0}^{m} x_{k} [/mm] definiert als [mm] x_{0} [/mm] * [mm] x_{1} [/mm] * [mm] ....x_{m}
[/mm]
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Ich gehe davon aus, dass man dies mittels vollständiger Induktion zeigen soll.
Hier handelt es sich ja aber um einen Term mit mehreren Variablen. Kann mir einer also einen Tipp zum Induktionsanfang geben.
Ich würde sagen:
IA: n = 1
[mm] => 1(1+1) (1+2) ... (1+m) = \bruch{1}{m+2} (1+1) (1+2)....(1+m) (2+m) [/mm]
Da man das (m+2) nun vorne wegkürzen kann stimmt die Behauptung.
Beim Schritt von n=>n+1 hänge ich aber gerade irgendwie:
(n+1) (n+2) (n+3) ... (n+m) = [mm] \bruch{1}{m+2} [/mm] (n+2) (n+3) (n+1+m) (n+m+2)
Herauskommen muss ja auch auf der rechten Seite am Ende noch ein (n+1).
Kann mir jemand einen Tipp geben oder ist mein Ansatz schon falsch?
Danke und liebe Grüße
Tobi
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Der Buchstabe "l" (ELL) ist in diesem Zusammenhang
sehr ungeeignet, weil man ihn typografisch praktisch
nicht von der "1" (Eins) unterscheiden kann.
Ersetze doch das "l" zum Beispiel durch "p" !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 25.10.2009 | | Autor: | tobster |
Stimmt, kann man schlecht erkennen -) Habe es geändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Buchstabe "l" (ELL) ist in diesem Zusammenhang
> sehr ungeeignet, weil man ihn typografisch praktisch
> nicht von der "1" (Eins) unterscheiden kann.
>
> Ersetze doch das "l" zum Beispiel durch "p" !
Oder besser: [mm] $\ell$ [/mm] ($\ell$)
LG Felix
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Hallo Tobi,
> Zeigen Sie noch allgemeiner, dass für n,m [mm]\in \IN[/mm] mit n
> [mm]\ge[/mm] 1 gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m}[/mm] (k+p) = [mm]\bruch{1}{m+2} \produkt_{l=0}^{m+1}[/mm]
> (n+p)
> Dabei ist [mm]\produkt_{p=0}^{m} x_{k}[/mm] definiert als [mm]x_{0}[/mm] *
> [mm]x_{1}[/mm] * [mm]....x_{m}[/mm]
>
> Ich gehe davon aus, dass man dies mittels vollständiger
> Induktion zeigen soll.
> Hier handelt es sich ja aber um einen Term mit mehreren
> Variablen. Kann mir einer also einen Tipp zum
> Induktionsanfang geben.
> Ich würde sagen:
> IA: n = 1
> [mm]=> 1(1+1) (1+2) ... (1+m) = \bruch{1}{m+2} (1+1) (1+2)....(1+m) (2+m)[/mm]
>
> Da man das (m+2) nun vorne wegkürzen kann stimmt die
> Behauptung.
>
> Beim Schritt von n=>n+1 hänge ich aber gerade irgendwie:
> (n+1) (n+2) (n+3) ... (n+m) = [mm]\bruch{1}{m+2}[/mm] (n+2) (n+3)
> (n+1+m) (n+m+2)
> Herauskommen muss ja auch auf der rechten Seite am Ende
> noch ein (n+1).
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben oder ist mein Ansatz schon
> falsch?
Ob dein Ansatz falsch ist, kann ich dir nicht sagen, da ich nur zwei Produkte sehe, mit vielen Punkten geschrieben 
Für den Beweis dieser Aussage solltest du den Induktionsschritt ruhig etwas exakter aussehen lassen. Wir wissen nun, dass die Aussage für n gilt. Wir müssen nun nachweisen, dass die Aussage für n+1 gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\produkt_{p=0}^{m}(k+p)$
[/mm]
Wir schreiben den (n+1)-ten Summanden der Summe extra:
$= [mm] \summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m}(k+p) [/mm] + [mm] \produkt_{p=0}^{m} [/mm] (n+1+p)$
So, nun können wir auf die Summe links die Induktionsvoraussetzung anwenden:
$= [mm] \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1}(n+p) [/mm] + [mm] \produkt_{p=0}^{m} [/mm] (n+1+p)$
So. Wir haben ja nun vor Augen, dass irgendwann [mm] $\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)$ [/mm] als Ergebnis herauskommen muss$. Im Produkt steht aber nicht (n+1+p), sondern nur (n+p). Deswegen bedienen wir uns einer Indexverschiebung:
$= [mm] \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=-1}^{m}(n+1+p) [/mm] + [mm] \produkt_{p=0}^{m} [/mm] (n+1+p)$
(Überleg dir, warum wir das jetzt so schreiben dürfen!). Nun holen wir den Faktor für p = -1 aus dem ersten Produkt raus und schreiben ihn extra:
$= [mm] \frac{1}{m+2}*n*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p) [/mm] + [mm] \produkt_{p=0}^{m} [/mm] (n+1+p)$
Und nun klammern wir [mm] $\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)$ [/mm] aus dem gesamten Term aus:
$= [mm] \left(\frac{1}{m+2}*n + 1\right)*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)$
[/mm]
So, nun bist du dran. Wir wollen zu dem Ergebnis [mm] $\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
> Für den Beweis dieser Aussage solltest du den
> Induktionsschritt ruhig etwas exakter aussehen lassen. Wir
> wissen nun, dass die Aussage für n gilt. Wir müssen nun
> nachweisen, dass die Aussage für n+1 gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\produkt_{p=0}^{m}(k+p)[/mm]
>
> Wir schreiben den (n+1)-ten Summanden der Summe extra:
>
> [mm]= \summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m}(k+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> So, nun können wir auf die Summe links die
> Induktionsvoraussetzung anwenden:
>
> [mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1}(n+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
Wieso taucht hier denn jetzt auf der linken Seite bei Anwendung der IV
(n+p) auf?
Ich dachte es müsste heißen:
[mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1} + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
Gruß together
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Hallo!
> Wieso taucht hier denn jetzt auf der linken Seite bei
> Anwendung der IV
> (n+p) auf?
> Ich dachte es müsste heißen:
> [mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1} + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
Nein, das ist falsch. Schon allein deswegen, weil [mm] $\produkt_{p=0}^{m+1} [/mm] + [mm] \produkt_{p=0}^{m} [/mm] (n+1+p)$ gar kein mathematisch korrekter Ausdruck ist. Ich kann kein "+" miteinander multiplizieren!
Guck dir nochmal genau die Induktionsvoraussetzung an, und worauf diese angewandt wird.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
> Hallo!
>
> > Wieso taucht hier denn jetzt auf der linken Seite bei
> > Anwendung der IV
> > (n+p) auf?
> > Ich dachte es müsste heißen:
> > [mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1} + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> Nein, das ist falsch. Schon allein deswegen, weil
> [mm]\produkt_{p=0}^{m+1} + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm] gar kein
> mathematisch korrekter Ausdruck ist. Ich kann kein "+"
> miteinander multiplizieren!
>
> Guck dir nochmal genau die Induktionsvoraussetzung an, und
> worauf diese angewandt wird.
>
> Grüße,
> Stefan
Die Induktionsvoraussetzung ist doch:
[mm] \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1}
[/mm]
wo kommt das (n+p) her? das ist mir noch nicht so klar!
Viele Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | tobster |
Weil dort im Index es nun bis m+1 läuft
Vielen Dank, habe es nun raus.
Tipp: am Ende wieder das m+1 reinholen, und dann einfach die Produkte auflösen, dann stimmts.
Nun aber noch ne Frage hierzu:
Muss man das ganze auch noch für m machen? denn läuft ja auch oder?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:38 Di 27.10.2009 | | Autor: | v0nny |
was meinste denn genau mit dann nur noch m+1 reinholen und das produkt auflösen?
boah ich hab das echt voll nicht drauf....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 28.10.2009 | | Autor: | together |
Wieso taucht hier manchmal k und manchmal n auf?
Kann mir da jemand was zu sagen?
Viele Grüße
together
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ronni |
> Wieso taucht hier manchmal k und manchmal n auf?
>
> Kann mir da jemand was zu sagen?
>
> Viele Grüße
> together
In der Aufgabe ist doch gegeben:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m} [/mm] $ (k+p) = $ [mm] \bruch{1}{m+2} \produkt_{l=0}^{m+1} [/mm] $ (n+p)
Wenn du das dann einsetzt "verschwindet" das k und dann ist ein n drin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mi 28.10.2009 | | Autor: | together |
klar!
Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Do 29.10.2009 | | Autor: | together |
> Hallo Tobi,
>
> > Zeigen Sie noch allgemeiner, dass für n,m [mm]\in \IN[/mm] mit n
> > [mm]\ge[/mm] 1 gilt:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m}[/mm] (k+p) = [mm]\bruch{1}{m+2} \produkt_{l=0}^{m+1}[/mm]
> > (n+p)
> > Dabei ist [mm]\produkt_{p=0}^{m} x_{k}[/mm] definiert als [mm]x_{0}[/mm]
> *
> > [mm]x_{1}[/mm] * [mm]....x_{m}[/mm]
> >
> > Ich gehe davon aus, dass man dies mittels vollständiger
> > Induktion zeigen soll.
> > Hier handelt es sich ja aber um einen Term mit mehreren
> > Variablen. Kann mir einer also einen Tipp zum
> > Induktionsanfang geben.
> > Ich würde sagen:
> > IA: n = 1
> > [mm]=> 1(1+1) (1+2) ... (1+m) = \bruch{1}{m+2} (1+1) (1+2)....(1+m) (2+m)[/mm]
>
> >
> > Da man das (m+2) nun vorne wegkürzen kann stimmt die
> > Behauptung.
> >
> > Beim Schritt von n=>n+1 hänge ich aber gerade irgendwie:
> > (n+1) (n+2) (n+3) ... (n+m) = [mm]\bruch{1}{m+2}[/mm] (n+2)
> (n+3)
> > (n+1+m) (n+m+2)
> > Herauskommen muss ja auch auf der rechten Seite am Ende
> > noch ein (n+1).
> >
> > Kann mir jemand einen Tipp geben oder ist mein Ansatz schon
> > falsch?
>
> Ob dein Ansatz falsch ist, kann ich dir nicht sagen, da ich
> nur zwei Produkte sehe, mit vielen Punkten geschrieben
>
> Für den Beweis dieser Aussage solltest du den
> Induktionsschritt ruhig etwas exakter aussehen lassen. Wir
> wissen nun, dass die Aussage für n gilt. Wir müssen nun
> nachweisen, dass die Aussage für n+1 gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\produkt_{p=0}^{m}(k+p)[/mm]
>
> Wir schreiben den (n+1)-ten Summanden der Summe extra:
>
> [mm]= \summe_{k=1}^{n}\produkt_{p=0}^{m}(k+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> So, nun können wir auf die Summe links die
> Induktionsvoraussetzung anwenden:
>
> [mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=0}^{m+1}(n+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> So. Wir haben ja nun vor Augen, dass irgendwann
> [mm]$\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)$[/mm] als Ergebnis
> herauskommen muss$. Im Produkt steht aber nicht (n+1+p),
> sondern nur (n+p). Deswegen bedienen wir uns einer
> Indexverschiebung:
>
> [mm]= \frac{1}{m+2}*\produkt_{p=-1}^{m}(n+1+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> (Überleg dir, warum wir das jetzt so schreiben dürfen!).
> Nun holen wir den Faktor für p = -1 aus dem ersten Produkt
> raus und schreiben ihn extra:
>
> [mm]= \frac{1}{m+2}*n*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p) + \produkt_{p=0}^{m} (n+1+p)[/mm]
>
> Und nun klammern wir [mm]\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)[/mm] aus dem
> gesamten Term aus:
>
> [mm]= \left(\frac{1}{m+2}*n + 1\right)*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)[/mm]
>
> So, nun bist du dran. Wir wollen zu dem Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)[/mm].
>
> Grüße,
> Stefan
Kann mir hier jemand noch nen Anstoss geben, wie ich weiter komme?
Wie kriege ich jetzt m+1 über das Produktzeichen? Bzw. wie kann ich das Produkt anders schreiben, also ohne das PRoduktzeichen?
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > [mm]= \left(\frac{1}{m+2}*n + 1\right)*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)[/mm]
> > So, nun bist du dran. Wir wollen zu dem Ergebnis
> > [mm]\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)[/mm].
>
> Kann mir hier jemand noch nen Anstoss geben, wie ich weiter
> komme?
> Wie kriege ich jetzt m+1 über das Produktzeichen? Bzw.
> wie kann ich das Produkt anders schreiben, also ohne das
> PRoduktzeichen?
Na, es ist doch [mm] $\prod_{p=0}^{m+1} [/mm] (n + 1 + p) = (n + 1 + (m + 1)) [mm] \prod_{p=0}^m [/mm] (n + 1 + p)$. Wenn du das jetzt oben einsetzt bist du wirklich fast sofort fertig.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Do 29.10.2009 | | Autor: | together |
> Hallo
>
> > > [mm]= \left(\frac{1}{m+2}*n + 1\right)*\produkt_{p=0}^{m}(n+1+p)[/mm]
>
> > > So, nun bist du dran. Wir wollen zu dem Ergebnis
> > > [mm]\bruch{1}{m+2}\produkt_{p=0}^{m+1}(n+1+p)[/mm].
> >
> > Kann mir hier jemand noch nen Anstoss geben, wie ich weiter
> > komme?
> > Wie kriege ich jetzt m+1 über das Produktzeichen? Bzw.
> > wie kann ich das Produkt anders schreiben, also ohne das
> > PRoduktzeichen?
>
> Na, es ist doch [mm]\prod_{p=0}^{m+1} (n + 1 + p) = (n + 1 + (m + 1)) \prod_{p=0}^m (n + 1 + p)[/mm].
> Wenn du das jetzt oben einsetzt bist du wirklich fast
> sofort fertig.
>
> LG Felix
>
Aber ich habe doch gar nicht [mm] \prod_{p=0}^{m+1} [/mm] (n + 1 + p) , sondern [mm] \prod_{p=0}^{m} [/mm] (n + 1 + p)
VG
together
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Na, es ist doch [mm]\prod_{p=0}^{m+1} (n + 1 + p) = (n + 1 + (m + 1)) \prod_{p=0}^m (n + 1 + p)[/mm].
> > Wenn du das jetzt oben einsetzt bist du wirklich fast
> > sofort fertig.
>
> Aber ich habe doch gar nicht [mm]\prod_{p=0}^{m+1}[/mm] (n + 1 + p)
> , sondern [mm]\prod_{p=0}^{m}[/mm] (n + 1 + p)
Dann loes die Identitaet "[mm]\prod_{p=0}^{m+1} (n + 1 + p) = (n + 1 + (m + 1)) \prod_{p=0}^m (n + 1 + p)[/mm]" doch nach [mm]\prod_{p=0}^{m} (n + 1 + p)[/mm] auf.
Um das mal etwas zu verdeutlichen: ich habe dir geschrieben, dass $x = a * y$ gilt. Und du sagst jetzt, "Aber ich hab doch gar nicht $x$ sondern $y$".
LG Felix
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