Produktregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
hab ma ne Frage zur Produktregel.Also ich hab sie mir ![[]](/images/popup.gif) hier angeschaut und da steht ja :"Da die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar sind, folgt für h [mm] 0:\bruch{u(x+h)-u(x)}{h} [/mm] --> u'(x).
Aber ich versteh nicht,warum das u'(x) ist weil,wenn h 0 wird,ist doch der ganze Ausdruck 0 oder???
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Jockal |
Hallo!
Du betrachtest da einen Limes für
h [mm] \to [/mm] 0
Diesen Grenzübergang musst Du bei dem angegebenen Bruch natürlich im Zähler UND im Nenner durchführen! Im Zähler geht dann nämlich zwar
u(x+h)-u(x) [mm] \to [/mm] 0
aber im Nenner geht auch
h [mm] \to [/mm] 0
Das heißt es liegt ein "Null durch Null"-Fall vor. Das Ergebnis ist NICHT unbedingt Null! Vielmehr ist per Definition (!Vermutlich steht es so auch im Schulheft!) dieser Grenzwert gleich die Ableitung von u, nämlich:
Def.: u'(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{u(x+h)-u(x)}{h}
[/mm]
Übrigens: Bitte nicht verwechseln: Beim "Limes" wird NICHT h GLEICH 0 gesetzt, sondern h rückt lediglich "immer näher an die Null ran". Daher ist es auch unverzichtbar, den "lim" zu schreiben, oder zumindest den Pfeil zu verwenden, wie in "h [mm] \to [/mm] 0".
Wie die Herleitung der Produktregel ansonsten funktioniert, kannst Du jetzt hoffentlich nachvollziehen. Falls nicht, zögere bitte nicht, einfach nochmal eine Frage zu stellen!
Ich hoffe, ich konnte helfen,
mit freundlichem Gruß,
Jockal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,dankeschön =) nur nochmal zum sicher sein: also wird in diesem Fall nicht h zu 0 sondern rückt der 0 nur näher???
Achso und noch ne Frage,da steht ja noch v(x+h) --> v(x). Hier muss h dann aber gleich 0 sein oder? Weil sonst könnte da ja nicht v(x) rauskommen???
Aber oben steht ja ,dass h---> 0 geht und hier jetzt nicht oder wie?????![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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Genau, das h rückt der 0 in der Theorie nur näher.
Soll man dann allerdings den Grenzwert bestimmen, muss man h = 0 einsetzen. Meist konnte man das h im Nenner aber vorher so im Bruch kürzen, dass nicht mehr steht [mm] \bruch{irgendwas}{0}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du musst aufpassen:
Wenn da steht:
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}$
[/mm]
so ist das, wenn $u$ an der Stelle $x$ diff'bar ist, per Definitionem von [mm] $u\,'(x)$ [/mm] dann gerade [mm] $=u\,'(x)$. [/mm] Das kann man sich schon an einer Skizze klarmachen, indem man den Graph einer ("genügend glatten") Funktion skizziert und an einer Stelle $x$ dann die Tangente an den Graph anlegt. Dann approximiert man die Steigung dieser Tangente eben mit [mm] $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$, [/mm] wobei stets $h [mm] \not=0$. [/mm] Aber man kann dann $h [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen (aber nicht $h=0$ einsetzen, denn dann macht ja [mm] $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$ [/mm] keinen Sinn mehr, da man dort durch $0$ teilen würde).
Bei Dir steht nun zudem:
$v(x+h)-v(x) [mm] \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to [/mm] 0$. Beachte bitte:
Dort steht kein $h$ im Nenner (es gibt ja gar keinen Nenner, höchstens, wenn ich [mm] $v(x+h)-v(x)=\frac{v(x+h)-v(x)}{1}$ [/mm] schreibe, dann ist der Nenner aber $=1$). Dennoch wird hier auch die Differenzierbarkeit von $v$ an der Stelle $x$ benutzt, die man ja bei der Produktregel in der Voraussetzung mit drinstehen hat:
$v$ ist an der Stelle $x$ differenzierbar, daraus folgt insbesondere, dass $v$ an der Stelle $x$ stetig ist.
Und dieser Fakt wird dann benutzt:
Weil [mm] $\blue{v}$ [/mm] stetig an [mm] $\blue{x}$ [/mm] ist, folgt
[mm] $\lim_{h \to 0}v(x+h)-v(x)=(\blue{\lim_{h \to 0}v(x+h)})-v(x)=\blue{v(x)}-v(x)=0$
[/mm]
Wäre $v$ nicht stetig an $x$, so könnte man [mm] $\lim_{h \to 0}v(x+h)=v(x)$ [/mm] nicht benutzen. Aber dieses Problem kann hier eben nicht auftreten, weil $v$ sogar diff'bar an $x$ ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke dür die Erklärung,nur was ist stetig????^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke dür die Erklärung,nur was ist stetig????^^
mich würde das verwundern, wenn ihr schon Differenzierbarkeit behandelt, ohne über die Stetigkeit gesprochen zu haben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit
Grob gesprochen bedeutet (da ihr in der Schule eh nur Funktionen betrachtet, die den Voraussetzungen genügen) die Stetigkeit einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$:
Wenn ich mit $y [mm] \in D_f$ [/mm] und $y [mm] \not [/mm] = x$ gegen $x$ laufe (sofern das geht), so läuft auch $f(y)$ gegen $f(x)$.
Meist wird gesagt, dass man den Graph einer Funktion, die an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, dort in einer genügend kleinen Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] (d.h. hier in einem genügend kleinen Intervall, dass [mm] $x_0$ [/mm] enthält) zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Und wenn man den Stift absetzen muss, dann ist die Funktion nicht stetig an der Stelle [mm] $x_0$. [/mm] Das kann sehr oft hilfreich sein, um bei Funktionen die Aussage über Stetigkeit oder Unstetigkeit (an einer Stelle [mm] $x_0$) [/mm] "zu erkennen", man sollte sich aber nicht darauf fixieren, dass diese "Anschauungsideen" immer greifen (es gibt eine Funktion, die nur an einer Stelle stetig ist; die Beschreibung mittels der Annäherung oben klappt dann, die Anschauung anhand des Graphen macht Probleme, weil man den Graph der Funktion hier sogar in keinem noch so kleinem Intervall um die (einzige) Stetigkeitsstelle "in einem Zug" zeichnen könnte:
Eine mögliche derartige Funktion wäre z.B.
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$
[/mm]
Diese ist einzig und allein stetig in [mm] $x_0=0$.
[/mm]
Und da kann man noch einige kompliziertere Beispiele angeben, wo die "Stiftargumentation" nicht greift. Aber in der Schule wird die "Stiftargumentation" sicher (fast?) immer genügen...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
dankeschön^^
Aber ich muss sagen,ich bin genauso verwundert wie du,da wir Stetigkeit noch überhaupt nicht behandelt haben,ich fand das selbst etwas komisch,da das Thema ja in unserem Buch ist,aber unser Lehrer hats nicht mit uns durchgenommen.Aber mit Funktionen und den ganzen Ableitungsregeln beschäftigen wir uns zur Zeit.
lg
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