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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:33 Do 27.12.2007 | | Autor: | broken_eiyce |
| Aufgabe | 1.) Beweisen Sie, dass die Parallelprojektion in [mm] E^3 [/mm] auf einer Ebene epsilon entlang einer Geraden h (h ist nicht parallel zu epsilon) eine affine Abbildung ist? (Hin-und Rückrichtung)
2.) Zeigen Sie, dass eine Zentralprojektion in [mm] E^3 [/mm] geradentreu ist |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweise-Parallelprojektion-und-Zentralprojektion
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du ganz neu bei uns bist, solltest Du Dir einmal die Forenregeln durchlesen, insbesondere den Passus über eigeneLösungsansätze.
Auf diese legen wir großen Wert, denn wir können doch nur helfen, wenn wir wissen, wo es klemmt. Es ist ja ein Riesenunterschied, ob das Problem darin liegt, daß jemand die nötigen Definitionen nicht kennt, oder ob ein winziges Detail, vielleicht ein Standard"trick", für den Beweis fehlt.
Wie weit sind Deine Überlegungen denn bisher gediehen?
Was ist eine Parallelprojektion?
Was ist eine affine Abbildung?
Gruß v. Angela
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Entschuldige, ich wollte nicht, dass meine Frage so fordernd ankommt 
Also, aus der Vorlesung weiß ich, dass eine Parallelprojektion in [mm] E^3 [/mm] eine solche Projektion ist, bei der eine Ebene [mm] \varepsilon [/mm] und eine Grade h gegeben und beide nicht parallel sind. Dann gibt es immer ein M, dessen Bildpunkt M' gesucht ist. Nach unserer Definition gibt es dann für alle M aus [mm] E^3 [/mm] genau eine Gerade h mit M [mm] \in [/mm] l und l [mm] \parallel [/mm] h. Daraus ergibt sich wieder ein Schnittpunkt (von l mit [mm] \varepsilon), [/mm] welcher dann M' ist.
Dann haben wir eine zweite Definition, bei der eine Ebene [mm] \varepsilon [/mm] und eine Gerade g in [mm] E^3 [/mm] gegeben sind und beide nicht parallel sind.
Dort heißt es, dass für alle M eine Ebene [mm] \varepsilon\sim [/mm] existiert für die M [mm] \in \varepsilon\sim [/mm] gilt und beide Ebenen parallel sind.
Der Schnittpunkt von [mm] \varepsilon\sim [/mm] mit g ist M'.
Eine affine Abbildung ist eine verhältnistreue Abbildung der Ebene auf sich selber. Das heißt, Geraden werden wieder auf Geraden abgebildet, Punkte wieder auf Punkte. Parallele Bilder werden auch wieder auf parallele Bilder abgebildet.
Leider weiß ich nicht, wie ich jetzt beweise, dass die Parallelprojektion eine affine Abbildung ist.
Eine Zentralprojektion haben wir mit Augpunkt und Verschwindungsebene definiert:
[mm] \varepsilon [/mm] ist Ebene, [mm] O\not\in \varepsilon [/mm] ist der Augpunkt.
Dann gibt es genau ein [mm] \varepsilon\sim \parallel \varepsilon [/mm] und [mm] O\in \varepsilon\sim, [/mm] wobei [mm] \varepsilon\sim [/mm] die Verschwindungsebene ist.
Sei nun [mm] M\in M^3 \setminus \varepsilon\sim
[/mm]
Schnittpunkt der Geraden OM mit [mm] \varepsilon [/mm] ist M'.
Das die Zentralprojektion keine affine Abbildung ist, haben wir dadurch beweisen, dass wir gezeigt haben, dass sie nicht parallen-und nicht verhältnistreu ist.
Um zu zeigen, dass sie jetzt aber geradentreu ist, habe ich mir überlegt, dass man vielleicht erstmal annehmen kann, dass M' nicht auf einer Geraden abgebildet wird und das zu einem Widerspruch führen kann.
Aber hier setzen dann die Schwierigkeiten ein, weil ich nicht geübt im Beweisen bin und nicht weiß, wie ich die Sache angehen soll.
Ich hab noch bis Sonntag Zeit. Wäre schön, wenn ich ein Hilfe bekommen könnte. Ich verspreche auch mitzudenken, insoweit mein Gehirn mir das ermöglicht. 
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> Also, aus der Vorlesung weiß ich, dass eine
> Parallelprojektion in [mm]E^3[/mm] eine solche Projektion ist, bei
> der eine Ebene [mm]\varepsilon[/mm] und eine Grade h gegeben und
> beide nicht parallel sind. Dann gibt es immer ein M, dessen
> Bildpunkt M' gesucht ist. Nach unserer Definition gibt es
> dann für alle M aus [mm]E^3[/mm] genau eine Gerade h mit M [mm]\in[/mm] l und
> l [mm]\parallel[/mm] h. Daraus ergibt sich wieder ein Schnittpunkt
> (von l mit [mm]\varepsilon),[/mm] welcher dann M' ist.
Hallo,
das, was Du oben schreibst, ist dann die Projektion entlang der Geraden h auf die Ebene [mm] \varepsilon,
[/mm]
und das, was Du weiter unten beschreibst, ist die Projektion entlang der Ebene [mm] \varepsilon [/mm] auf die Gerade g.
Eine Projektion p entlang einer Geraden auf eine Ebene kannst Du Dir erstmal so verdeutlichen:
Stell Dir eine große Leinwand im Wohnzimmer vor. Das sei die Ebene [mm] \varepsilon.
[/mm]
Die Gerade h. entlang der projeziert werden soll, sei die linke Fußleiste.
Nun brauchen wir noch einen Punkt, den wir auf die Leinwand projezieren wollen. Wir nehmen die Spitze des Tannenzweiges T, der auf dem Wohnzimmertisch steht.
Was tue ich nun, wenn ich S auf [mm] \varepsilon [/mm] projezieren will entlang h?
Ich hole meine Taschenlampe und halte sie so, daß der austretende Strahl T trifft und genau parallel zur linken Fußleiste h ist. Wir sehen den Schatten der Tannenspitze auf der Leinwand, und dort ist T', die Projektion von T auf [mm] \varepsilon [/mm] entlang h.
(Du merkst, daß das nicht klappt, wenn Du die Leinwand parallel zu linken Fußleiste aufstellst.)
Wenn ich so etwas nun ausrechnen wollte, würde ich mir folgendes überlegen:
Die Ebene wird ja aufgespannt von 2 Richtungsvektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] ("angeheftet" an einen Stützvektor), der Richtungsvektor der Geraden h sei [mm] \vec{c}.
[/mm]
Da Gerade und Ebene nicht parallel sind, ist [mm] (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) [/mm] eine Basis des [mm] E_3.
[/mm]
Du kannst den Ortsvektor [mm] \overrightarrow{0M} [/mm] des zu projezierenden Punktes M als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben,
[mm] \overrightarrow{0M}=a\vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}.
[/mm]
Mit diesen Überlegungen kannst Du die Koordinaten des Punktes M':=p(M) bestimmen.
(Schreibe auch den Stützvektor der Ebene in Koordinaten bzgl. [mm] (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}).)
[/mm]
> Eine affine Abbildung ist eine verhältnistreue Abbildung
Um zu zeigen, daß diese Projektion p eine affine Abbildung ist, mußt Du zeigen, daß für sämtliche P,Q,R und für alle [mm] r\in \IR [/mm] gilt:
[mm] \overrightarrow{PR}=r\overrightarrow{PQ} [/mm] ==> [mm] \overrightarrow{p(P)p(R)}=r\overrightarrow{p(P)p(Q)}
[/mm]
(Das ist die Verhältnistreue).
Ich hoffe, daß meine Hinweise in etwa zu dem passen, was Ihr gerade tut, bzw. daß Du Schreibweisen und Formulierungen übertragen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:57 Sa 05.01.2008 | | Autor: | broken_eiyce |
Hallo Angela..
> Um zu zeigen, daß diese Projektion p eine affine Abbildung
> ist, mußt Du zeigen, daß für sämtliche P,Q,R und für alle
> [mm]r\in \IR[/mm] gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{PR}=r\overrightarrow{PQ}[/mm] ==>
> [mm]\overrightarrow{p(P)p(R)}=r\overrightarrow{p(P)p(Q)}[/mm]
>
> (Das ist die Verhältnistreue).
Ich hab jetzt zwei Tage über diesen Beweis nachgedacht, aber leider nichts sinnvolles zustande gebracht. Kannst du mir vielleicht zeigen wie man das macht? Die Schreibweise passt, machen wir auch in der Vorlesung so, aber ich bin zu doof um zu Beweisen. O
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> Ich hab jetzt zwei Tage über diesen Beweis nachgedacht,
> aber leider nichts sinnvolles zustande gebracht. Kannst du
> mir vielleicht zeigen wie man das macht? Die Schreibweise
> passt, machen wir auch in der Vorlesung so, aber ich bin zu
> doof um zu Beweisen. O
Hallo,
selbst vorrechnen möchte ich das nicht.
Ich weiß ja überhaupt nicht, wo die Probleme liegen.
Ich weiß ja nicht, was Du in den zwei Tagen so alles getan und gedacht hast, und nach Möglichkeit würde ich aber genau hier einhaken wollen.
Letzendlich geht es ja um die Bestimmung des Schittpunktes zwischen einer Geraden und einer Ebene, etwas, was Du zu Schulzeiten zur Genüge getan hast - allerdings mit Zahlen, das will ich zugeben.
Also, zeig mal ein bißchen von Deinen Bemühungen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 07.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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