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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | Geben Sie die Bilder der Punkte A,B,C an:
a) bei Zentralprojektion der Sphre [mm] S^2 [/mm] auf die Tanentialebene im Punkt -e3 mit dem Projektionszentrum e3 (Stereographische Projektion)
b) bei Zentralprojektion der Sphre [mm] S^2 [/mm] auf die Tanentialebene im Punkt e3 mit dem Projektionszentrum 0 (Gnomonische Projektion) |
Wir haben diese Projektionen bsiher noch gar nicht behandelt und ich weiß daher mit der Aufgabe nicht wirklich etwas anzufangen. Die Infos im Internet (in meinen Büchern steht leider kaum was dazu) halfen nicht weiter.
Könnt ihr mir daher das Ganze mal in Ruhe erklären bzw. für den Allgemeinen Fall für Beispiel a) vormachen?
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> Geben Sie die Bilder der Punkte A,B,C an:
> a) bei Zentralprojektion der Sphre [mm]S^2[/mm] auf die
> Tanentialebene im Punkt -e3 mit dem Projektionszentrum e3
> (Stereographische Projektion)
> b) bei Zentralprojektion der Sphre [mm]S^2[/mm] auf die
> Tanentialebene im Punkt e3 mit dem Projektionszentrum 0
> (Gnomonische Projektion)
> Wir haben diese Projektionen bsiher noch gar nicht
> behandelt und ich weiß daher mit der Aufgabe nicht
> wirklich etwas anzufangen. Die Infos im Internet (in meinen
> Büchern steht leider kaum was dazu) halfen nicht weiter.
>
> Könnt ihr mir daher das Ganze mal in Ruhe erklären bzw.
> für den Allgemeinen Fall für Beispiel a) vormachen?
Hallo Sam_Nat,
ich nehme einmal an, dass mit [mm] S^2 [/mm] die Einheitskugel um den
Nullpunkt gemeint ist und mit e3 der Punkt ("Nordpol") (0|0|1)
auf dieser Kugel.
Für die Punkte A, B, C hast du allerdings keine konkreten
Koordinaten bzw. Bezeichnungen angegeben - oder meinst du
damit etwa einen (beliebigen) Punkt P der Sphäre mit
den kartesischen Koordinaten A, B und C , also P(A|B|C) mit
[mm] A^2+B^2+C^2=1 [/mm] ?
Falls Letzteres gemeint sein sollte, kannst du so vorgehen:
1.) Stelle eine vektorielle Gleichung (Parametergleichung) für
die Gerade g durch [mm] e_3 [/mm] und P auf.
2.) Berechne den Schnittpunkt [mm] S=g\cap{T} [/mm] dieser Geraden g mit der
Tangentialebene T am "Südpol". T hat natürlich die Gleichung z=-1 .
Dann ist S die gesuchte Projektion des Punktes P .
Bemerkung: zur Beschreibung des Punktes P auf der (zwei-
dimensionalen) Sphäre [mm] S^2 [/mm] würden eigentlich zwei Koordinaten
ausreichen, etwa die beiden Winkelkoordinaten in einer Dar-
stellung in Kugelkoordinaten. Vielleicht wäre diese Darstellungs-
weise hier vorzuziehen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | Was gilt für die Punkte:
A=(0,5 [mm] \wurzel{2}; 0,5\wurzel{2};0)
[/mm]
B=(0; 0,5; [mm] 0,5\wurzel{3})
[/mm]
C=(0; [mm] -0,5\wurzel{3}; [/mm] 0,5) |
Hallo,
danke für deine erste Antwort. Ich habe natürlich Punkte, aber da mir die Vorgehsnweise für den allgemeinen Fall dachte ich gereicht hätte, gab ich sie nicht an.
Den Nachtrag findest du jetzt oben.
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> Was gilt für die Punkte:
> A=(0,5 [mm]\wurzel{2}; 0,5\wurzel{2};0)[/mm]
> B=(0; 0,5;
> [mm]0,5\wurzel{3})[/mm]
> C=(0; [mm]-0,5\wurzel{3};[/mm] 0,5)
> Hallo,
>
> danke für deine erste Antwort. Ich habe natürlich Punkte,
> aber da mir die Vorgehsnweise für den allgemeinen Fall
> dachte ich gereicht hätte, gab ich sie nicht an.
>
> Den Nachtrag findest du jetzt oben.
Hallo,
jetzt kannst du natürlich mein "Rezept" durchführen,
entweder mit den konkreten Punkten oder aber in
allgemeiner Form ! Du weißt ja schon, wie man eine
vektorielle Geradengleichung aufstellt und dann den
Schnittpunkt der Geraden mit einer durch ihre Koor-
dinatengleichung gegebenen Ebene berechnet ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 06.01.2011 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | | Problem: Wie wird die Tangentialebene beschrieben? |
1. Geradengleichung aufstellen
g: A + r(AE3) = (0,5 [mm] \wurzel{2}; [/mm] 0,5 [mm] \wurzel{2}; [/mm] 0) + r(-0,5 [mm] \wurzel{2}; [/mm] -0,5 [mm] \wurzel{2}; [/mm] -1)
für die Punkte B und C quasi analog
2. Schnittpunkt ermitteln
Setze Gerade g mit T gleich. Ermittelter Schnittpunkt ist dann das Bild von A (analog B,C) bei der stereographischen Projektion.
Problem: Wie wird die Tangentialebene beschrieben?
Ich weiß, dass gilt (x+e3)(-e3-m)=0, aber das bringt mich nich wirklich weiter...
LG, Sam Nat
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> Problem: Wie wird die Tangentialebene beschrieben?
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> 1. Geradengleichung aufstellen
> g: A + r(AE3) = (0,5 [mm]\wurzel{2};[/mm] 0,5 [mm]\wurzel{2};[/mm] 0) +
> r(-0,5 [mm]\wurzel{2};[/mm] -0,5 [mm]\wurzel{2};[/mm] -1)
> für die Punkte B und C quasi analog
>
> 2. Schnittpunkt ermitteln
> Setze Gerade g mit T gleich. Ermittelter Schnittpunkt
> ist dann das Bild von A (analog B,C) bei der
> stereographischen Projektion.
> Problem: Wie wird die Tangentialebene beschrieben?
> Ich weiß, dass gilt (x+e3)(-e3-m)=0, aber das bringt mich
> nich wirklich weiter...
Führe dies halt in Komponentenschreibweise durch mittels
[mm] $\vec{x}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x_1\\x_2\\x_3}$
[/mm]
[mm] $\vec{e}_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $\vec{m}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\0}$
[/mm]
oder beachte, dass die Tangentialebene parallel zur [mm] x_1-x_2- [/mm] Ebene
ist und deshalb eine sehr einfache Gleichung hat !
LG Al-Chw.
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