Projektionsabbildung ist offen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Mi 31.10.2012 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | Sei $Y$ kompakt. Dann ist die Projektion
[mm] $$p_X:X\times Y\to [/mm] X, [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x$$
eine abgeschlossene Abbildung. |
Hallo,
ich brauche ein Tip zu obiger Aufgabe. Mein Ansatz bisher:
Ich nehme eine beliebige abgeschlossene Menge [mm] $U\times V\subset X\times [/mm] Y$ und muss zeigen, dass [mm] $p_X(U\times [/mm] V)$ abgeschlossen ist.
Ich weiß, da $Y$ kompakt ist, und $V$ abgeschlossen, dass dann auch $V$ kompakt ist. Ich weiß aber nicht wo ich diese Kenntnis anwenden kann, denn ich denke mir dass gilt
[mm] $$p_X(U\times [/mm] V)=U$$
und da $U$ abgeschlossen ist, ist [mm] $p_X(U\times [/mm] V)$ abgeschlossen. Aber das muss unsinn sein, denn ich habe die Kompaktheit von $Y$, bzw. von $V$ nicht benutzt.
Kann mir jemand einen Tip geben?!
Liebe Grüße,
huzein
ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mi 31.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]Y[/mm] kompakt. Dann ist die Projektion
> [mm]p_X:X\times Y\to X, (x,y)\mapsto x[/mm]
> eine abgeschlossene
> Abbildung.
> Hallo,
> ich brauche ein Tip zu obiger Aufgabe. Mein Ansatz
> bisher:
>
> Ich nehme eine beliebige abgeschlossene Menge [mm]U\times V\subset X\times Y[/mm]
>
Wer sagt denn, dass eine abgeschlossene Menge so aussehen muss...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 31.10.2012 | | Autor: | huzein |
Na wenn ich eine abgeschlossene Teilmenge [mm] $A\subset X\times [/mm] Y$ nehme, dann hat doch $A$ die Form [mm] $A=U\times [/mm] V$ und [mm] $U\times [/mm] V$ ist abgeschlossen.
oder nicht?
Ich habe die Aufgabe mittlerweile gelöst mit einer beliebigen abgeschlossenen Teilmenge $A$, aber obiges hätte ich doch noch gerne geklärt haben.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Na wenn ich eine abgeschlossene Teilmenge [mm]A\subset X\times Y[/mm]
> nehme, dann hat doch [mm]A[/mm] die Form [mm]A=U\times V[/mm] und [mm]U\times V[/mm]
> ist abgeschlossen.
>
> oder nicht?
Wenn Du meinst .... und U,V abgeschlossen, so stimmt das nicht.
Schau Dir nochmal an, wie die Produkttopologie def. ist.
FRED
>
> Ich habe die Aufgabe mittlerweile gelöst mit einer
> beliebigen abgeschlossenen Teilmenge [mm]A[/mm], aber obiges hätte
> ich doch noch gerne geklärt haben.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 31.10.2012 | | Autor: | huzein |
Naja wenn $X$ und $Y$ top. Räume sind, [mm] $\tau_X$ [/mm] und [mm] $\tau_Y$ [/mm] die entsprechenden Topologien auf $X$ und $Y$, dann ist [mm] $X\times [/mm] Y$ ein top. Raum versehen mit der Produkttopologie [mm] $\tau_{X\times Y}:=\{U\times V\subset X\times Y:U\in\tau_X, V\in\tau_V\}$.
[/mm]
Wenn nun [mm] $U\subset [/mm] X, [mm] V\subset [/mm] Y$ offen sind, dann sind [mm] $X\setminus [/mm] U$ und [mm] $Y\setminus [/mm] V$ abgeschlossen. Und dann ist
[mm] $U\times [/mm] V$ offen, also [mm] $(X\times Y)\setminus (U\times [/mm] V)$ abgeschlossen. Das ist doch aber:
[mm] $(X\times Y)\setminus (U\times V)=X\setminus U\times Y\setminus [/mm] V$. Dann setze [mm] $W_1:=X\setminus [/mm] U$ und [mm] $W_2:=Y\setminus [/mm] V$. [mm] $W_j$ [/mm] ist abgeschlossen. Setze [mm] $A:=W_1\times W_2$. [/mm] Dann ist $A$ abgeschlossen.
Was ist denn daran nicht richtig? Mhh....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo huzein,
> Naja wenn [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] top. Räume sind, [mm]\tau_X[/mm] und [mm]\tau_Y[/mm] die
> entsprechenden Topologien auf [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm], dann ist [mm]X\times Y[/mm]
> ein top. Raum versehen mit der Produkttopologie
> [mm]\tau_{X\times Y}:=\{U\times V\subset X\times Y:U\in\tau_X, V\in\tau_V\}[/mm].
Nein. Deine Menge [mm] $\tau_{X\times Y}$ [/mm] ist i.A. nicht unter Vereinigungen abgeschlossen und daher keine Topologie.
> Wenn nun [mm]U\subset X, V\subset Y[/mm] offen sind, dann sind
> [mm]X\setminus U[/mm] und [mm]Y\setminus V[/mm] abgeschlossen. Und dann ist
> [mm]U\times V[/mm] offen, also [mm](X\times Y)\setminus (U\times V)[/mm]
> abgeschlossen. Das ist doch aber:
> [mm](X\times Y)\setminus (U\times V)=X\setminus U\times Y\setminus V[/mm].
Nein, es gilt zwar [mm] "$\supseteq$", [/mm] aber i.A. nicht [mm] "$\subseteq$".
[/mm]
> Dann setze [mm]W_1:=X\setminus U[/mm] und [mm]W_2:=Y\setminus V[/mm]. [mm]W_j[/mm] ist
> abgeschlossen. Setze [mm]A:=W_1\times W_2[/mm]. Dann ist [mm]A[/mm]
> abgeschlossen.
>
> Was ist denn daran nicht richtig? Mhh....
Außer den beiden obigen Fehlern: Du versuchst zu begründen, dass Mengen der Form [mm] $U\times [/mm] V$ mit [mm] $U\subseteq [/mm] X$ und [mm] $V\subseteq [/mm] Y$ abgeschlossen wieder abgeschlossen sind. Du würdest jedoch die umgekehrte Aussage benötigen: Wenn eine Teilmenge [mm] $A\subseteq X\times [/mm] Y$ abgeschlossen ist, hat sie die Form [mm] $A=U\times [/mm] V$ für gewisse abgeschlossene Teilmengen [mm] $U\subseteq [/mm] X$ und [mm] $V\subseteq [/mm] Y$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 31.10.2012 | | Autor: | huzein |
Jep, sehe ich nun ein, danke!
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