Projektives System < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $X\:$ [/mm] Menge, [mm] $(X_{i})_{i \in I}$ [/mm] ein System von Teilmengen von [mm] $X\:$. [/mm] Für $i,j [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $X_j \subset X_j$ [/mm] ist mit [mm] $f_{ij}$ [/mm] die Inklusionsabbildung [mm] $X_j \hookrightarrow X_i$ [/mm] gegeben.
Man schreibe $i [mm] \leq [/mm] j : [mm] \gdw X_i \subset X_j$. [/mm] Zeige: [mm] $(X_i, f_{ij})$ [/mm] ist ein projektives System von Mengen mit [mm] $\lim_{\xleftarrow[i \in I]{}} X_i [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in I} X_i$. [/mm] |
Hallo,
ich komme nicht gaz zum Ende bei dieser Aufgabe (obwohl es sich wohl um den einfachsten Fall eines projektiven Systems handelt  )
Die Indexmenge ist durch [mm] $\leq$ [/mm] partiell geordnet, denn:
(i) [mm] $X_i \subset X_i \;\; \forall\: [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] i [mm] \leq [/mm] i [mm] \;\; \forall\: [/mm] i [mm] \in [/mm] I
(ii) Gilt $i [mm] \leq [/mm] j, j [mm] \leq [/mm] k [mm] \Rightarrow X_j \subset X_i, X_k \subset X_j \Rightarrow X_k \subset X_i \Rightarrow [/mm] i [mm] \leq [/mm] k$
(iii) Gilt $i [mm] \leq [/mm] j, j [mm] \leq [/mm] i [mm] \Rightarrow X_i \subset X_j, X_j \subset X_i \Rightarrow X_i [/mm] = [mm] X_j \Rightarrow [/mm] i=j$
Die [mm] $f_{ij}$ [/mm] bilden ein System von Abbildungen mit:
(i) [mm] $f_{ii}: X_i \hookrightarrow X_i, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x$, d.h. [mm] $f_{ii} [/mm] = id$
(ii) Für $i [mm] \leq [/mm] j, j [mm] \leq [/mm] k [mm] \Rightarrow X_j \subset X_i, X_k \subset X_j \Rightarrow X_k \subset X_i$ [/mm] und [mm] $f_{ik}: X_k \xrightarrow{f_{jk}} X_j \xrightarrow{f_{ij}} X_i$, [/mm] d.h. [mm] $f_{ik}=f_{ij} \circ f_{jk}$
[/mm]
Damit ist [mm] $(X_i, f_{ij})$ [/mm] ein projektives System.
Soweit ist ja alles einfach. Nun bleibt zu zeigen, dass [mm] $\bigcap_{i \in I} X_i$ [/mm] mit den Inklusionsabbildungen [mm] $f_i: \bigcap_{i \in I} X_i \hookrightarrow X_i$ [/mm] die universelle Eigenschaft des projektive Limes erfüllt.
Sei [mm] $Y\:$ [/mm] eine Menge und [mm] $h_i: [/mm] Y [mm] \rightarrow X_i$ [/mm] Abbildungen mit [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_{ij} \circ h_j$ [/mm] für $i [mm] \leq [/mm] j$. Zu zeigen: Es existierte eine eindeutige Abbildung $h: Y [mm] \rightarrow \bigcap_{i \in I} X_i$ [/mm] mit [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_i \circ [/mm] h$
Eindeutigkeit: Es gilt [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_i \circ [/mm] h [mm] \;\; \forall \: [/mm] i [mm] \in [/mm] I$. Sei $y [mm] \in [/mm] Y [mm] \Rightarrow h_i(y) [/mm] = [mm] (f_i \circ [/mm] h) [mm] \Rightarrow$ [/mm] da [mm] $f_i$ [/mm] injektiv ist, ist [mm] $h(y)\:$ [/mm] eindeutig festgelegt durch [mm] $h_i(y)$. [/mm] Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt.
Existenz: Hier habe ich meine Probleme. Woher weiß ich, dass eine solche Abbildung [mm] $h\:$ [/mm] überhaupt existiert?
Ich weiß, dass $(Y, [mm] h_{ij})$ [/mm] folgendes erfüllt: [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_{ij} \circ h_j$. [/mm] Aber was kann ich daraus schließen?
LG Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 13.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]X\:[/mm] Menge, [mm](X_{i})_{i \in I}[/mm] ein System von Teilmengen
> von [mm]X\:[/mm]. Für [mm]i,j \in I[/mm] mit [mm]X_j \subset X_j[/mm] ist mit [mm]f_{ij}[/mm]
Du meinst [mm] $X_j \subset X_i$?
[/mm]
> die Inklusionsabbildung [mm]X_j \hookrightarrow X_i[/mm] gegeben.
>
> Man schreibe [mm]i \leq j : \gdw X_i \subset X_j[/mm]. Zeige: [mm](X_i, f_{ij})[/mm]
> ist ein projektives System von Mengen mit
> [mm]\lim_{\xleftarrow[i \in I]{}} X_i = \bigcap_{i \in I} X_i[/mm].
>
> Hallo,
>
> ich komme nicht gaz zum Ende bei dieser Aufgabe (obwohl es
> sich wohl um den einfachsten Fall eines projektiven Systems
> handelt )
>
> Die Indexmenge ist durch [mm]\leq[/mm] partiell geordnet, denn:
> (i) [mm]$X_i \subset X_i \;\; \forall\:[/mm] i [mm]\in[/mm] I [mm]\Rightarrow[/mm] i
> [mm]\leq[/mm] i [mm]\;\; \forall\:[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> (ii) Gilt [mm]i \leq j, j \leq k \Rightarrow X_j \subset X_i, X_k \subset X_j \Rightarrow X_k \subset X_i \Rightarrow i \leq k[/mm]
>
> (iii) Gilt [mm]i \leq j, j \leq i \Rightarrow X_i \subset X_j, X_j \subset X_i \Rightarrow X_i = X_j \Rightarrow i=j[/mm]
Ich vermute mal, bei euch muss das System nicht gerichtet sein? (Das System ist gerichtet [mm] $\Leftrightarrow \forall [/mm] i, j [mm] \exists [/mm] k : [mm] X_i, X_j \subseteq X_k$.)
[/mm]
Das wuerde bei den Voraussetzungen auch gar nicht umbedingt stimmen :)
> Die [mm]f_{ij}[/mm] bilden ein System von Abbildungen mit:
> (i) [mm]f_{ii}: X_i \hookrightarrow X_i, x \mapsto x[/mm], d.h.
> [mm]f_{ii} = id[/mm]
> (ii) Für [mm]i \leq j, j \leq k \Rightarrow X_j \subset X_i, X_k \subset X_j \Rightarrow X_k \subset X_i[/mm]
> und [mm]f_{ik}: X_k \xrightarrow{f_{jk}} X_j \xrightarrow{f_{ij}} X_i[/mm],
> d.h. [mm]f_{ik}=f_{ij} \circ f_{jk}[/mm]
>
> Damit ist [mm](X_i, f_{ij})[/mm] ein projektives System.
Ja.
> Soweit ist ja alles einfach. Nun bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\bigcap_{i \in I} X_i[/mm] mit den Inklusionsabbildungen [mm]f_i: \bigcap_{i \in I} X_i \hookrightarrow X_i[/mm]
> die universelle Eigenschaft des projektive Limes erfüllt.
> Sei [mm]Y\:[/mm] eine Menge und [mm]h_i: Y \rightarrow X_i[/mm] Abbildungen
> mit [mm]h_i = f_{ij} \circ h_j[/mm] für [mm]i \leq j[/mm]. Zu zeigen: Es
> existierte eine eindeutige Abbildung [mm]h: Y \rightarrow \bigcap_{i \in I} X_i[/mm]
> mit [mm]h_i = f_i \circ h[/mm]
>
> Eindeutigkeit: Es gilt [mm]h_i = f_i \circ h \;\; \forall \: i \in I[/mm].
> Sei [mm]y \in Y \Rightarrow h_i(y) = (f_i \circ h) \Rightarrow[/mm]
> da [mm]f_i[/mm] injektiv ist, ist [mm]h(y)\:[/mm] eindeutig festgelegt durch
> [mm]h_i(y)[/mm]. Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Existenz: Hier habe ich meine Probleme. Woher weiß ich,
> dass eine solche Abbildung [mm]h\:[/mm] überhaupt existiert?
> Ich weiß, dass [mm](Y, h_{ij})[/mm] folgendes erfüllt: [mm]h_i = f_{ij} \circ h_j[/mm].
> Aber was kann ich daraus schließen?
Ich glaube, das funktioniert gar nicht, wenn man nicht annimmt, dass das projektive System gerichtet ist.
Gegenbeispiel: $X = [mm] \{ 1, 2 \}$, $X_1 [/mm] = [mm] \{ 1 \}$, $X_2 [/mm] = [mm] \{ 2 \}$. [/mm] Dann ist [mm] $\{ X_1, X_2 \}$ [/mm] ein System von Teilmengen von $X$. Dann hat [mm] $\varprojlim_{i\in I} X_i$ [/mm] genau ein einzeiges Element (es muss mindestens eins haben, damit $h$ immer existiert, und es muss hoechstens eins haben, damit $h$ eindeutig ist). Beachte dazu, dass die Bedingung [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_{ij} \circ h_j$ [/mm] immer erfuellt ist, da aus $i [mm] \le [/mm] j$ folgt $i = j$.
(Wenn du $X$, [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] allgemein waehlst mit [mm] $X_1 \not\subseteq X_2 \not\subseteq X_1$, [/mm] gilt immer [mm] $\varprojlim X_i [/mm] = [mm] X_1 \times X_2$.)
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] $X_1 \cap X_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] also nicht der projektive Limes. Und das Problem ist, dass es keine Menge [mm] $X_i$ [/mm] im System gibt mit [mm] $X_i \subseteq X_1$, $X_i \subseteq X_2$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, danke für deine Hilfe.
> > Existenz: Hier habe ich meine Probleme. Woher weiß ich,
> > dass eine solche Abbildung [mm]h\:[/mm] überhaupt existiert?
> > Ich weiß, dass [mm](Y, h_{ij})[/mm] folgendes erfüllt: [mm]h_i = f_{ij} \circ h_j[/mm].
> > Aber was kann ich daraus schließen?
>
> Ich glaube, das funktioniert gar nicht, wenn man nicht
> annimmt, dass das projektive System gerichtet ist.
>
> Gegenbeispiel: [mm]X = \{ 1, 2 \}[/mm], [mm]X_1 = \{ 1 \}[/mm], [mm]X_2 = \{ 2 \}[/mm].
> Dann ist [mm]\{ X_1, X_2 \}[/mm] ein System von Teilmengen von [mm]X[/mm].
> Dann hat [mm]\varprojlim_{i\in I} X_i[/mm] genau ein einzeiges
> Element (es muss mindestens eins haben, damit [mm]h[/mm] immer
> existiert, und es muss hoechstens eins haben, damit [mm]h[/mm]
> eindeutig ist). Beachte dazu, dass die Bedingung [mm]h_i = f_{ij} \circ h_j[/mm]
> immer erfuellt ist, da aus [mm]i \le j[/mm] folgt [mm]i = j[/mm].
>
> (Wenn du [mm]X[/mm], [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] allgemein waehlst mit [mm]X_1 \not\subseteq X_2 \not\subseteq X_1[/mm],
> gilt immer [mm]\varprojlim X_i = X_1 \times X_2[/mm].)
>
> In diesem Fall ist [mm]X_1 \cap X_2 = \emptyset[/mm] also nicht der
> projektive Limes. Und das Problem ist, dass es keine Menge
> [mm]X_i[/mm] im System gibt mit [mm]X_i \subseteq X_1[/mm], [mm]X_i \subseteq X_2[/mm].
Ich hatte mich auch schon gefragt, was passiert wenn [mm] $\bigcap_{i \in I} X_i [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, aber habe den Gedanken dann nicht weiter verfolgt. Es wundert mich allerdings, dass die Aufgabenstellung dann anscheinend nicht ganz richtig ist, sie ist 1:1 aus einem Buch übernommen. Da passieren eben auch Fehler.
Dann nehme ich jetzt mal an, dass das System zusätzlich gerichtet ist, und versuche so zu einer Lösung zu kommen.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Sei also nun [mm] $(X_i)_{i \in I}$ [/mm] gerichtet, d.h. für $i, j [mm] \in [/mm] I [mm] \;\; \exists\:k \in [/mm] I: i,j [mm] \leq [/mm] k$, d.h. für [mm] $X_i, X_j \in (X_i)_{i \in I}\;\; \exists X_k \in (X_i)_{i \in I}: X_k \subseteq X_i,X_j$.
[/mm]
Damit folgt zunächst, dass der Schnitt [mm] $\bigcap_{i \in I} X_i$ [/mm] nicht leer sein kann.
Nun bleibt die Existenz einer Abbildung $h: Y [mm] \to \bigcap_{i \in I} X_i$ [/mm] mit [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_i \circ [/mm] h$ zu zeigen:
Sei nun $x [mm] \in \bigcap_{i \in I} X_i$ $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in X_i \;\;\forall \: [/mm] i [mm] \in [/mm] I$.
Die Abbildungen [mm] $h_i: [/mm] Y [mm] \to X_i$ [/mm] sind jedoch gegeben und wir erklären für alle $x [mm] \in \bigcap_{i \in I} X_i$: $h(x):=h_i^{-1}(x)$.
[/mm]
Jetzt könnte es aber noch Elemente $y [mm] \in [/mm] Y$ geben, die unter keiner der Abbildungen [mm] $h_i$ [/mm] auf ein $x [mm] \in \bigcap_{i \in I} X_i$ [/mm] abgebildet werden. Die Existenz solcher Elemente muss ich noch ausschließen, dann ist die Abbildung [mm] $h\:$ [/mm] auf ganz [mm] $Y\:$ [/mm] erklärt und tut das gewünschte, nämlich [mm] $h_i [/mm] = [mm] f_i \circ [/mm] h$.
Es ist [mm] $h_i(y) \in X_i \backslash \bigcap_{i \in I} X_i$. [/mm] Seien [mm] $X_i, X_j$ [/mm] zwei beliebige Elemente des Systems von Teilmengen [mm] $\Rightarrow \; \exists \:X_k: X_k \subseteq X_i, X_j$. [/mm] Es gilt dann [mm] $h_j(y) [/mm] = [mm] f_{jk}(h_k(y))$ [/mm] und [mm] $h_i(y) [/mm] = [mm] f_{ik}(h_k(y)) \Rightarrow h_i(y)=h_j(y)$, [/mm] da [mm] $f_{jk}, f_{ik}$ [/mm] jeweils die Identität sind. Damit ist also [mm] $f_i(y)$ [/mm] gleich für alle $i [mm] \in [/mm] I$ und somit enthalten ist [mm] $\bigcap_{i \in I} X_i$. [/mm] Womit wir den gewünschten Widerspruch haben.
So, das wirkt alles noch recht ungeschickt. Stimmt es überhaupt? Und geht es klarer und schneller?
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 13.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei also nun [mm](X_i)_{i \in I}[/mm] gerichtet, d.h. für [mm]i, j \in I \;\; \exists\:k \in I: i,j \leq k[/mm],
> d.h. für [mm]X_i, X_j \in (X_i)_{i \in I}\;\; \exists X_k \in (X_i)_{i \in I}: X_k \subseteq X_i,X_j[/mm].
>
> Damit folgt zunächst, dass der Schnitt [mm]\bigcap_{i \in I} X_i[/mm]
> nicht leer sein kann.
>
> Nun bleibt die Existenz einer Abbildung [mm]h: Y \to \bigcap_{i \in I} X_i[/mm]
> mit [mm]h_i = f_i \circ h[/mm] zu zeigen:
>
> Sei nun [mm]x \in \bigcap_{i \in I} X_i[/mm] [mm]\Rightarrow x \in X_i \;\;\forall \: i \in I[/mm].
>
> Die Abbildungen [mm]h_i: Y \to X_i[/mm] sind jedoch gegeben und wir
> erklären für alle [mm]x \in \bigcap_{i \in I} X_i[/mm]:
> [mm]h(x):=h_i^{-1}(x)[/mm].
Das ist sehr schlecht definiert so, da [mm] $h_i$ [/mm] nicht injektiv ist i.A.
Mach das lieber anders.
Du musst die Abbildung doch einfach fuer jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ definieren. Also nimm dir ein solches.
Dieses $y [mm] \in [/mm] Y$ muss jetzt auf ein Element in [mm] $\bigcap_i X_i$ [/mm] abgebildet werden. Dazu zeigst du:
(a) fuer alle $i, j [mm] \in [/mm] I$ gilt: [mm] $h_i(y) [/mm] = [mm] h_j(y)$;
[/mm]
(b) fuer alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt: [mm] $h_i(y) \in \bigcap_j X_j$.
[/mm]
(Hierbei folgt (b) recht einfach aus (a), und fuer (a) brauchst du dass das System gerichtet ist.)
Damit ist $h(y) := [mm] h_i(y)$ [/mm] fuer ein beliebiges $i [mm] \in [/mm] I$ wohldefiniert und liefert eine Abbildung $h : Y [mm] \to \bigcap_j X_j$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Du musst die Abbildung doch einfach fuer jedes [mm]y \in Y[/mm]
> definieren. Also nimm dir ein solches.
>
> Dieses [mm]y \in Y[/mm] muss jetzt auf ein Element in [mm]\bigcap_i X_i[/mm]
> abgebildet werden. Dazu zeigst du:
> (a) fuer alle [mm]i, j \in I[/mm] gilt: [mm]h_i(y) = h_j(y)[/mm];
> (b) fuer
> alle [mm]i \in I[/mm] gilt: [mm]h_i(y) \in \bigcap_j X_j[/mm].
Seien $ [mm] X_i, X_j [/mm] $ zwei beliebige Elemente des Systems von Teilmengen $ [mm] \Rightarrow \; \exists \:X_k: X_k \subseteq X_i, X_j [/mm] $. Es gilt dann $ [mm] h_j(y) [/mm] = [mm] f_{jk}(h_k(y)) [/mm] $ und $ [mm] h_i(y) [/mm] = [mm] f_{ik}(h_k(y)) \Rightarrow h_i(y)=h_j(y) [/mm] $, da $ [mm] f_{jk}, f_{ik} [/mm] $ jeweils die Identität sind. Damit ist also $ [mm] f_i(y) [/mm] $ gleich für alle $ i [mm] \in [/mm] I $ und somit enthalten ist $ [mm] \bigcap_{i \in I} X_i [/mm] $.
Stimmts?
> Damit ist [mm]h(y) := h_i(y)[/mm] fuer ein beliebiges [mm]i \in I[/mm]
> wohldefiniert und liefert eine Abbildung [mm]h : Y \to \bigcap_j X_j[/mm].
Danke, lg Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 13.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Du musst die Abbildung doch einfach fuer jedes [mm]y \in Y[/mm]
> > definieren. Also nimm dir ein solches.
> >
> > Dieses [mm]y \in Y[/mm] muss jetzt auf ein Element in [mm]\bigcap_i X_i[/mm]
> > abgebildet werden. Dazu zeigst du:
> > (a) fuer alle [mm]i, j \in I[/mm] gilt: [mm]h_i(y) = h_j(y)[/mm];
> > (b)
> fuer
> > alle [mm]i \in I[/mm] gilt: [mm]h_i(y) \in \bigcap_j X_j[/mm].
>
> Seien [mm]X_i, X_j[/mm] zwei beliebige Elemente des Systems von
> Teilmengen [mm]\Rightarrow \; \exists \:X_k: X_k \subseteq X_i, X_j [/mm].
> Es gilt dann [mm]h_j(y) = f_{jk}(h_k(y))[/mm] und [mm]h_i(y) = f_{ik}(h_k(y)) \Rightarrow h_i(y)=h_j(y) [/mm],
> da [mm]f_{jk}, f_{ik}[/mm] jeweils die Identität sind. Damit ist
> also [mm]f_i(y)[/mm] gleich für alle [mm]i \in I[/mm]
> und somit enthalten
> ist [mm]\bigcap_{i \in I} X_i [/mm].
... da [mm] $f_i(y) \in X_i$.
[/mm]
> Stimmts?
Ja :)
LG Felix
|
|
|
|
