Prüfe auf Diff'barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Ist die Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}
[/mm]
in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0) |
Hallo
kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen und durch die Stetigkeit eine Aussage über die Differenzierbarkeit in x=0 machen?
Oder muss man hier zwangsläufig mit dem Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit nachzuweisen?
Vielen Dank
poeddl
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Hallo,
> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit
>
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> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)
> Hallo
>
> kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt
> x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen
> und durch die Stetigkeit eine Aussage über die
> Differenzierbarkeit in x=0 machen?
> Oder muss man hier zwangsläufig mit dem
> Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit
> nachzuweisen?
Immer letzteres: die Stetigkeit ist nur eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo, danke für deine Antwort!
Das heisst dann:
Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist stetig?
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Hallo,
> Hallo, danke für deine Antwort!
>
> Das heisst dann:
> Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig?
Ja, so ist es. Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Aber stetig ist sie oder?
Habe hier gerade etwas gerechnet und komme darauf, dass rechts und linksseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen (=0)
Nur beim Differenzquotienten weiss ich nicht recht, wie ich da vorgehen soll:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{\bruch{cos(x)-1}{x}}{x}=\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{cos(x)-1}{x^{2}}}
[/mm]
Darauf zwei Mal den l'Hospital anwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{-cos(x)}{2}}=\bruch{-1}{2}
[/mm]
Aber wie geht es nun weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber stetig ist sie oder?
>
> Habe hier gerade etwas gerechnet und komme darauf, dass
> rechts und linksseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert
> übereinstimmen (=0)
>
>
> Nur beim Differenzquotienten weiss ich nicht recht, wie ich
> da vorgehen soll:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{\bruch{cos(x)-1}{x}}{x}=\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{cos(x)-1}{x^{2}}}[/mm]
>
> Darauf zwei Mal den l'Hospital anwenden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{-cos(x)}{2}}=\bruch{-1}{2}[/mm]
>
> Aber wie geht es nun weiter?
f ist in x=0 differenzierbar, das habe ich doch hier schon erledigt:
https://matheraum.de/read?i=970865
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo, ja, das habe ich gelesen.
Aber woran erkenne ich anhand der [mm] \bruch{-1}{2}, [/mm] dass f diff'bar ist?
Oder reicht es, wenn ein Grenzwert existiert, um sagen zu können, dass f an der Stelle diff'bar ist?
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Hallo,
schau dir mal die Definition von Differenzierbarkeit an.
Def.: $f(x)$ heißt diffbar in [mm] x_0, [/mm] wenn der Grenzwert [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung der Funktion $f(x)$ im Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Schlussfolgerung....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Super, vielen Dank! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Di 04.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo poeddl,
sorry nochmals für die Fehlinformation. Ich bin halt 'Hobbymathematiker' und manchmal vertue ich mich daher mit den Definitionen (was jetzt keine Ausrede sein soll: ich könnte sie und werde das auch in Zukunft wieder im Zweifelsfall nachschlagen). Aber es hat sich ja geklärt. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Di 04.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
ist doch kein Problem!
So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt habe ;)
Die Aussage
"Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist stetig? "
ist aber trotzdem richtig oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Di 04.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
> Hallo,
>
> ist doch kein Problem!
> So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was
> hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt
> habe ;)
>
> Die Aussage
> "Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig? "
> ist aber trotzdem richtig oder?
Ja, die Aussage stimmt.
Du kannst dir mal Beispiele für stetige, aber nicht differenzierbare Funktionen anschauen. Ganz bekannt ist die Weierstrass-Funktion. Sie ist stetig, aber in keinem Punkt differenzierbar. Dazu existieren auch hübsche Graphen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ist doch kein Problem!
> So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was
> hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt
> habe ;)
>
> Die Aussage
> "Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig? "
> ist aber trotzdem richtig oder?
wie schon gesagt: Ja.
Mach' Dir das doch mal klar:
Zu zeigen ist: Wenn [mm] $g=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ [/mm] existiert (d.h. [mm] $f\,'(x_0)$
[/mm]
existiert bzw. [mm] $f\,$ [/mm] ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] diff'bar), dann ist zu folgern, dass
[mm] $$\lim_{h \to 0}f(x_0+h)=f(x_0)$$
[/mm]
gilt. (Letzteres bedeutet, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 05.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
jetzt, wo du es sagst...
Leute, ihr seid echt spitze!
Kann man euch hier irgendwie gute Bewertungen oder so geben, damit ihr was davon habt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)
> Hallo
>
> kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt
> x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen
> und durch die Stetigkeit eine Aussage über die
> Differenzierbarkeit in x=0 machen?
> Oder muss man hier zwangsläufig mit dem
> Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit
> nachzuweisen?
>
> Vielen Dank
> poeddl
Ich muss Diophant widersprechen !
Es ist
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] $,
also
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] $
Es gilt [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0,
wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Di 04.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Ich muss Diophant widersprechen !
>
> Es ist
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm],
>
> also
>
>
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> Es gilt [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2}[/mm]
> für x [mm]%5Cto[/mm] 0,
>
> wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.
hm, könntest du das mit dem Widersprechen noch ein wenig ausführen? Denn das ist doch hier nichts anderes als der Differenzenquotient, ich sehe jetzt nicht so ganz, wo mein Fehler lag.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Ich muss Diophant widersprechen !
> >
> > Es ist
> >
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm],
>
> >
> > also
> >
> >
> >
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Es gilt [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2}[/mm]
>
> > für x [mm]%5Cto[/mm] 0,
> >
> > wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.
>
> hm, könntest du das mit dem Widersprechen noch ein wenig
> ausführen? Denn das ist doch hier nichts anderes als der
> Differenzenquotient, ich sehe jetzt nicht so ganz, wo mein
> Fehler lag.
Hallo Diophant,
Du hast geschrieben:
"Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist. "
f ist aber in x=0 differenzierbar .
Gruß FRED
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 04.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Hallo Diophant,
>
> Du hast geschrieben:
>
> "Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die
> vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar
> ist. "
>
> f ist aber in x=0 differenzierbar .
>
> Gruß FRED
Ja, das war ein Denkfehler meinerseits. Danke für die Erläuterung und Richtigstesllung!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Freds Methode und vor allem neben Deiner, wo Du beim Diff'quotienten
irgendwann de l'Hôpital anwendest:
> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)
nach de l'Hôpital (Fall "0/0") gilt
[mm] $$f\,'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x)}{2}=\;-\;1/2\,.$$
[/mm]
Edit: Sorry,, ich hätte Deine Methode doch nochmal angucken sollen; ich hatte
hier zuerst was falsch gerechnet ^^
Gruß,
Marcel
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