Prüfen, ob zwei Geraden gleich < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Immer noch muckele ich an einer Aufgabe herum [https://matheraum.de/read?i=956265]. Jetzt meine ich, eine eigene Lösung gefunden zu habe. Meine Schnittgerade hat allerdings nicht die gleiche Form, wie die Musterlösung und beim Abgleich wird's schon wieder dunkel ... |
Nachdem ich Rechenfehler bei der Bestimmung einer Schnittgeraden ausgeräumt habe (Danke, Diophant!) komme ich zu einer Schnittgeraden, die der unkommentierten Musterlösung ziemlich ähnelt. Bei der Überprüfung der Ähnlichkeit auf Gleichheit scheitere ich und deshalb bitte ich wieder darum, meine Überlegungen und Rechenwege auf Richtigkeit zu prüfen.
Meine Schnittgerade [mm] M : \begin{vec}m\end{vec} =
\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} \\
- \bruch{1}{5} \\
0
\end{pmatrix}
+
t_1
\begin{pmatrix}
- \bruch{3}{5} \\
- \bruch{4}{5} \\
1
\end{pmatrix}
[/mm] unterscheidet sich von der Musterlösung [mm]S : \begin{vec}s\end{vec} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
+
t_2
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-5
\end{pmatrix}
[/mm].
Um mich nun abschließende zu vergewissern, dass ich keinen Unfug produziert habe, versuchte ich zwei Dinge, die beide scheiterten. Entweder waren die Überlegungen falsch, oder ich habe mich verrechnet. Bitte dringend um Aufklärung.
Prüfmethode I, Geraden in Parameterform komplett in Gleichungssystem überführen
Wenn [mm]\begin{vec}m\end{vec}[/mm] und [mm]\begin{vec}s\end{vec}[/mm] die gleiche Gerade beschreiben, dann gilt:
[mm]\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} \\
- \bruch{1}{5} \\
0
\end{pmatrix}
+
t_1
\begin{pmatrix}
- \bruch{3}{5} \\
- \bruch{4}{5} \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
+
t_2
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-5
\end{pmatrix}
[/mm]
Daraus habe ich folgendes Gleichungssystem erzeugt:
[mm]
\begin{matrix}
- \bruch{3}{5} t_1 & - & 3t_2 & = \bruch{1}{5} \\
- \bruch{4}{5} t_1 & - & 4t_2 & = \bruch{1}{5}\\
t_1 & + & 5t_2 & = 1 \\
\end{matrix}
[/mm]
Wenn ich das löse, lande ich in einem Widerspruch der Art 0 = 1 und der würde – wieder die Abwesenheit von Rechenfehlern vorausgesetzt – sagen, dass sich die beiden Geraden nicht schneiden und damit meine Lösung falsch ist.
Prüfmethode II, Stütz- und Richtungsvektoren einzeln prüfen
Die gute Nachricht zuerst: Die beiden Richtungsvektoren sind offensichtlich voneinander abhängig, kollinear. Dann bliebe zu prüfen, ob auch der eine Stützvektor minus den anderen Stützvektor von einem der beiden Richtungsvektoren linear abhängig ist. Ich habe also [mm]\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} \\
- \bruch{1}{5} \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
a
\begin{pmatrix}
- \bruch{3}{5} \\
- \bruch{4}{5} \\
1
\end{pmatrix}
[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} \\
- \bruch{1}{5} \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
a
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-5
\end{pmatrix}
[/mm] geprüft. Beide enden in Gleichungssystemen, die Widersprüche hervorrufen.
Meine Fragen sind:
1) Sind die Prüfmethoden, so wie ich sie versucht habe, inhaltlich richtig?
2) Habe ich mir Rechenfehler erlaubt?
Von beidem hängt schließlich ab, ob ich nochmal ganz von vorne [https://matheraum.de/read?t=956284] anfangen muss ...
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Was du machst, ist prinzipiell alles richtig.
Methode I ist aber sehr aufwändig, sollte aber zu einem Ergebnis ala 0=0 führen. Oder etwas formaler: Die Gleichung sollte für beliebige [mm] t_1 [/mm] lösbar sein, [mm] t_2 [/mm] ergibt sich dann aus der Wahl von [mm] t_1 [/mm] (oder umgekehrt)
Methode II ist sehr viel einfacher!
Daß die Richtungsvektoren parallel sind, hast du bereits festgestellt. Dann mußt du schaun, ob die Differenz der beiden Stützvektoren auch parallel zu den Richtungsvektoren ist. Das mußt du aber nur mit einem der beiden Richtungsvekoren prüfen, denn da der zweite parallel zum ersten ist, kommt da das gleiche raus.
Zur Rechnung:
$ [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{1}{5} \\ - \bruch{1}{5} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = a [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{3}{5} \\ - \bruch{4}{5} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
Die dritte Zeile liefert sofort a=-1 , und sieht auch schnell, daß dieses a in den anderen Zeilen nicht passt. Die Gleichung hat wirklich keine Lösung, und die Graden sind zwar parallel, aber nicht identisch!
Noch ein Hinweis fürs Forum: Versuch mal \vektor{a \\ b \\ c}, das machts etwas einfacher: [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
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