Punkt-Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Fr 16.02.2007 | | Autor: | franzi |
| Aufgabe | a) Bestimme die Gleichung einer Ebene H, in der Punkt (8/6/4) liegt und die prallel zur Ebene E: [mm] \vektor{1\\ 2\\-2} [/mm] Vektor x -4=0 ist.
b)Bestimme den Abstand der Ebene E (Aufgabe a) vom Punkt P(8/6/4).
c)Bestimme den Abstabd des Punktes P(2/5/-2) von der Ebene: 6x+2y-3z=7.
d)Bestimme einen allgemeinen Lösungsweg, wie der Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmt werden kann! |
Wir sind gerade beim Wiederholen solcher Aufgaben ... nur leider kann ich mich nicht mehr so recht dran erinnern wie das genau geht! wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte =)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Fr 16.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Franzi
> a) Bestimme die Gleichung einer Ebene H, in der Punkt
> (8/6/4) liegt und die prallel zur Ebene E: [mm]\vektor{1\\ 2\\-2}[/mm]
> Vektor x -4=0 ist.
Dazu schreib die Ebene doch mal in der Normalenforn hin:
E: [mm] \underbrace{\vektor{1\\2\\-2}}_{\vec{n}}*\vec{x}=\underbrace{4}_{d}
[/mm]
Jetzt hat die Parallele Ebene ja den selben Normalenvektor, aber ein anderes "d"
Und das bestimmst du, indem du den gesuchten Punkt einsetzt.
Also: [mm] d_{2}=\vektor{1\\2\\-2}*\vektor{8\\6\\4}=...
[/mm]
>
> b)Bestimme den Abstand der Ebene E (Aufgabe a) vom Punkt
> P(8/6/4).
>
Hier konstruiert mal erstmal eine Hilfsgerade:
g: [mm] \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{n}=\vektor{8\\6\\4}+\lambda\vektor{1\\2\\-2}
[/mm]
Dann bestimmst du den Schnittpunkt S von g und E. Und berechnest dann die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PS}.
[/mm]
> c)Bestimme den Abstabd des Punktes P(2/5/-2) von der Ebene:
> 6x+2y-3z=7.
Das funktioniert wie oben. E: [mm] \vektor{6\\2\\-3}*\vec{x}=7
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\5\\2}+\nu\vektor{6\\2\\-3}
[/mm]
Dann S berechnen und zum Schluss die Länge von [mm] \overrightarrow{PS}.
[/mm]
>
> d)Bestimme einen allgemeinen Lösungsweg, wie der Abstand
> eines Punktes von einer Ebene bestimmt werden kann!
> Wir sind gerade beim Wiederholen solcher Aufgaben ... nur
> leider kann ich mich nicht mehr so recht dran erinnern wie
> das genau geht! wäre echt nett, wenn mir da jemand
> weiterhelfen könnte =)
Siehe Teil c)
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 17.02.2007 | | Autor: | franzi |
Nur wie bekomme ich bei den aufgaben (zB. b)) die Schnittpunkte heraus!Eigentlich ja durch gleichsetzen.. nur wie mache ich das mit den variablen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzi!
Setze den Term für [mm] $\vec{x}$ [/mm] der Geraden in die Ebenengleichung ein und bestimme daraus [mm] $\lambda$ [/mm] :
$g \ : \ [mm] \red{\vec{x} \ = \ \vektor{8\\6\\4}+\lambda*\vektor{1\\2\\-2}}$
[/mm]
$4 \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\-2}*\red{\vec{x}} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\-2}*\left[\red{\vektor{8\\6\\4}+\lambda*\vektor{1\\2\\-2}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\-2}*\vektor{8\\6\\4}+\lambda*\vektor{1\\2\\-2}*\vektor{1\\2\\-2} [/mm] \ = \ ...$
Nun die beiden  Skalarprodukte berechnen und nach [mm] $\lambda [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 17.02.2007 | | Autor: | franzi |
aber wenn ich das so mache, dann bekomme ich nachher doch eine reelle zahl raus...aber ich brauche doch den Schnittpunkt?!Irgendwas verstehe ich da falsch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzi!
Das hast Du völlig richtig erkannt mit der reellen Zahl für [mm] $\lambda$ [/mm] .
Wenn Du diesen [mm] $\lambda$-Wert [/mm] dann aber in die Geradengleichung einsetzt, hast Du endlich Deinen Schnittpunkt.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
