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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Fr 29.04.2005 | | Autor: | ChSc |
Ich suche den Punkt einer Gerade der die geringste Entfernung zu einem anderen Punkt hat.
In dem Beispiel gehts darum dass man die Gerade der Diagolane der Basisfläche einer quadratischen Pyramide und die Spitze davon gegeben hat, und man den Mittelpunkt der Basisfläche mal ausrechnen soll.
Ich hab das etwas kompliziert gerechnet, ich hab mit HNF Formel den Abstand vom Punkt zur Gerade ausgerechnet. Dann ne Kugel um die Spitze gemacht mit dem Abstand als Radius, und diese dann mit der Gerade geschnitten.
Allerdings geht bei dieser Methode immer ziehmlich viel Zeit verloren, die ich beim Abitur nächste Woche nicht habe. Ich bin eigentlich davon überzeugt das es auch eine einfachere schnellere Methode gibt, die ich allerdings noch nicht kenne.
Also bitte helft mir :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo chcs ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich suche den Punkt einer Gerade der die geringste
> Entfernung zu einem anderen Punkt hat.
ich glaube die schnellste möglichkeit das herauszufinden erfolgt mit hilfe des skalarprodukts.
nehmen wir an:
[mm]g: \vec x=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}[/mm]
[mm]P(c_x/c_y/c_z)[/mm]
dann benötigen wir zuerst den fußlotpunkt F auf g
[mm]F(a_x+tb_x/a_y+tb_y/a_z+tb_z)[/mm]
wenn das skalarprodukt deines richtungsvektors [mm] \vec{b} [/mm] der geraden mit dem vektor [mm] \vec{PF} [/mm] =0 ergibt, dann ist der abstand minimal.
[mm]--> b_x(a_x+tb_x-c_x)+b_y(a_y+tb_y-c_y)+b_z(a_z+tb_z-c_z)=0[/mm]
nach t auflösen, in g einsetzen und du hast den punkt auf g mit minimalen abstand zu P.
hoffe dir weitergeholfen haben zu können
mfg molek
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Hallo!
Wenn ich dich richtig verstanden habe geht es darum den kürzesten Abstand von einem Punkt zu einer Gerade auszurechnen!
Wenn dem so ist solltest du folgende Methode ausprobieren!
Lege eine Ebene durch den Punkt (Spitze der Pyramide) und die Gerade (Diagonale der Basisfläche), die senkrecht zur Geraden steht und die du folgendermaßen aufspannst:
Du benutzt die Normalform einer Ebene und nimmst dabei den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. Jetzt fehlt dir noch ein Punkt in der Ebene: du nimmst den gegebenen Punkt (Pyramidenspitze).
Jetzt kannst du die Ebene mit der Geraden schneiden und erhälst den Fußpunkt des Punktes (Pyramidenspitze) auf der Geraden. Für den Fußpunkt wäre hier Schluß, sonst mußt du nur noch die beiden "Punkte subtrahieren" und den Betrag des entstandenen Vektors errechnen!
Ich hoffe ich habs richtig verstanden und konnte dir helfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 29.04.2005 | | Autor: | ChSc |
Danke^^ genau das hab ich gemeint
Oh mann wieso bin ich da nciht gleich draufgekommen.
Ich hab gestern noch bis 1 uhr rumgerätselt udn 3 Leute gefragt, und heute bekomm ich hier schon nach 2 stunden die Lösung :)
Beide Methoden sind super :) zur ersten hab ich noch eine frage, wieso -c, ich dachte eigentlich das ich beim skalarenprodukt immer die einzelnen Teile des Vektors mit einander multipliziere
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
das [mm] $-c_i$ [/mm] kommt daher, dass man das Skalarprodukt des Differenzvektors von $F$ nach $P$ bestimmt. Daher gilt:
[mm] $\overrightarrow{PF}=\vektor{a_x+tb_x\\a_y+tb_y\\a_z+tb_z}-\vektor{c_x\\c_y\\c_z}=\vektor{a_x+tb_x-c_x\\a_y+tb_y-c_y\\a_z+tb_z-c_z}$
[/mm]
Wegen [mm] $\vec{b} \bullet \overrightarrow{PF}=0$ [/mm] kommt man dann auf die entsprechende Gleichung für $t$.
Gruß Max
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