Punkt beim Trapezaufspannen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 24.05.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Ich habe ein Trapes ABCD gegeben, welches von den Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}= \vec{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}= \vec{b} [/mm] aufgespannt wird. Außerdem gilt [mm] \overrightarrow{CD}= \bruch{-2}{3}\overrightarrow{AB}. [/mm]
Zunächst habe ich berechnet:
[mm] \overrightarrow{BC}= \bruch{-1}{3}\vec{a}+\vec{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vec{b}+\bruch{2}{3} \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BD}=- \vec{a}+ \vec{b}
[/mm]
--> stimmt das zunächst?
Nun soll ich durch Rechnung zeigen, dass die Verdreifachnung von [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und von [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] zu demselben Punkt P führt!
Es müsste ja gelten:
[mm] \overrightarrow{OA}+3* \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{OB}+3* \overrightarrow{BC}
[/mm]
Vereinfacht: [mm] \overrightarrow{OA}+3* \vec{b}=\overrightarrow{OB}-
[/mm]
[mm] \vec{a}+ \vec{b}
[/mm]
Mein problem ist es, jetzt weiter zukommen? hat jemand Ideen, oder ist mein Ansatz schon falsch???
Danke Zlata
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 24.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
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> Ich habe ein Trapes ABCD gegeben, welches von den Vektoren
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vec{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AD}= \vec{b}[/mm]
> aufgespannt wird. Außerdem gilt [mm]\overrightarrow{CD}= \bruch{-2}{3}\overrightarrow{AB}.[/mm]
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> Zunächst habe ich berechnet:
> [mm]\overrightarrow{BC}= \bruch{-1}{3}\vec{a}+\vec{b}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\bruch{2}{3} \vec{a}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BD}=- \vec{a}+ \vec{b}[/mm]
>
> --> stimmt das zunächst?
>
> Nun soll ich durch Rechnung zeigen, dass die
> Verdreifachnung von [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] und von
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] zu demselben Punkt P führt!
>
> Es müsste ja gelten:
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> [mm]\overrightarrow{OA}+3* \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{OB}+3* \overrightarrow{BC}[/mm]
>
> Vereinfacht: [mm]\overrightarrow{OA}+3* \vec{b}=\overrightarrow{OB}-[/mm]
>
> [mm]\vec{a}+ \vec{b}[/mm]
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> Mein problem ist es, jetzt weiter zukommen? hat jemand
> Ideen, oder ist mein Ansatz schon falsch???
>
> Danke Zlata
Hallo Zlata,
also überprüfen wir zunächst dein Ergebnis. Dazu machen wir uns
die Vektorkette [mm] $\vec [/mm] AB [mm] +\vec [/mm] BC [mm] +\vec [/mm] CD + [mm] \vec DA=\vec [/mm] 0 $ zunutze.
Nun setzen wir ein [mm] $\vec AB=\vec [/mm] a$, [mm] $\vec AD=\vec [/mm] b$ und $ [mm] \overrightarrow{CD}= -\bruch{2}{3}\overrightarrow{a}$
[/mm]
und erhalten:
[mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] BC - [mm] \vec {\frac{2}{3}a}-\vec b=\vec [/mm] 0$
[mm] $\vec BC=\vec {\frac{2}{3}a}+\vec [/mm] b- [mm] \vec [/mm] a$
[mm] $\vec BC=\vec [/mm] b [mm] -\vec{\frac{1}{3}a}$
[/mm]
Der ist also richtig, nun zum nächsten Vektor:
[mm] $\vec AC=\vec [/mm] AB [mm] +\vec [/mm] BC $
[mm] $\vec AC=\vec [/mm] b [mm] +\vec{\frac{2}{3}a}$
[/mm]
Und zum Letzten:
[mm] $\vec [/mm] AB + [mm] \vec [/mm] BD [mm] +\vec [/mm] DA = [mm] \vec [/mm] 0 [mm] \rightarrow \vec [/mm] BD= [mm] \vec [/mm] AD [mm] -\vec [/mm] AB $
[mm] $\vec BD=\vec [/mm] b [mm] -\vec [/mm] a$
Gut also darin stimmen wir überein.
Kommen wir nun zur zweiten Frage, ich würde dir zunächst empfehlen den
Punkt $A$ in den Ursprung zu legen. Ergibt dann:
[mm] $3*\vec AD=\vec [/mm] AB + [mm] 3*\vec [/mm] BC$
Setzen wir nun ein:
[mm] $3*\vec b=\vec [/mm] a [mm] +3*(\vec [/mm] b [mm] -\vec{\frac{1}{3}a})$
[/mm]
[mm] $\vec b=\vec [/mm] b$
q.e.d.
Wir haben also alles gezeigt was wir wollten. Wir können es natürlich auch
so machen, dass wir $A$ nicht in den Ursprung setzen, die einzige Änderung
ist dann aber:
[mm] $\vec [/mm] OA + [mm] 3*\vec AD=\vec [/mm] OA + [mm] \vec [/mm] AB + [mm] 3*\vec [/mm] BC$
und kommen wie wir leicht sehen auf das gleiche Ergebnis.
Liebe Grüße
Fugre
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