Punkt im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche ob der Punkt P(3|5|14) im Dreieck mit den Eckpunkten A(-3|4|5) B(5|6|15) und C(3|4|17) liegt |
Komm bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter. Kann mir evtl. jemand einen Tipp oder einen Ansatz dazu geben?
lg
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> Untersuche ob der Punkt P(3|5|14) im Dreieck mit den
> Eckpunkten A(-3|4|5) B(5|6|15) und C(3|4|17) liegt
> Komm bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter. Kann mir
> evtl. jemand einen Tipp oder einen Ansatz dazu geben?
$P$ liegt genau dann im Dreieck mit den Eckpunkten $A,B,C$, wenn es Skalare [mm] $\alpha, \beta,\gamma\geq [/mm] 0$ mit [mm] $\alpha+\beta+\gamma=1$ [/mm] gibt, so dass gilt
[mm]\vec{OP}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB}+\gamma\vec{OC}[/mm]
Die Skalare [mm] $\alpha, \beta, \gamma$ [/mm] sind wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ [/mm] und [mm] $\vec{OC}$ [/mm] endeutig bestimmt. Die Frage ist also nur, ob diese Skalare die Bedingungen [mm] $\alpha,\beta,\gamma\geq [/mm] 0$ und [mm] $\alpha+\beta+\gamma=1$ [/mm] erfüllen.
Bem: Intuitiver Hintergrund ist, dass man [mm] $\alpha,\beta,\gamma$ [/mm] als in den Eckpunkten $A,B,C$ befindliche Anteile einer Einheitsmasse [mm] $\alpha+\beta+\gamma=1$ [/mm] auffassen kann, mit der Eigenschaft, dass [mm] $\vec{OP}$ [/mm] gerade der Schwerpunkt dieser drei Massen ist. Durch geeignete Wahl der Massenverteilung kann man erzwingen, dass der Schwerpunkt ein beliebiger Punkt $P$ des Dreiecks $ABC$ ist.
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hm.. blick da noch nicht so wirklich durch :(
also:
(3|5|14)= [mm] \alpha(8|2|10)+\beta(6|0|12)
[/mm]
würde dass dann als Ansatz stimmen?!
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> hm.. blick da noch nicht so wirklich durch :(
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> also:
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> (3|5|14)= [mm]\alpha(8|2|10)+\beta(6|0|12)[/mm]
>
> würde dass dann als Ansatz stimmen?!
Nein, Du hast [mm] $\gamma [/mm] C$ weggelassen und vermutlich ganz unnötige Differenzen gebildet: überlege nochmals wo sich der Schwerpunkt von drei in $A, B$ bzw. $C$ befindlichem Punktmassen der Grösse [mm] $\alpha, \beta,\gamma\geq [/mm] 0$ mit [mm] $\alpha+\beta+\gamma=1$ [/mm] befindet. Richtig wäre (meiner Meinung nach) folgende Rechnung:
[mm](3|5|14)=\alpha\cdot (-3|4|5)+\beta\cdot (5|6|15)+\gamma\cdot (3|4|17)[/mm]
Dieses lineare Gleichungssystem (3 Koordinatengleichungen für [mm] $\alpha,\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$) [/mm] hat die einzige Lösung [mm] $\alpha=\frac{1}{6},\beta=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\gamma=\frac{1}{3}$. [/mm] Da diese Lösung die Bedingung [mm] $\alpha,\beta,\gamma\geq [/mm] 0$ erfüllt (und [mm] $\alpha+\beta+\gamma=1$ [/mm] gilt), liegt der Punkt $P$ im Dreieck $ABC$ (genauer: im Innern dieses Dreiecks - nicht etwa auf dem Rand).
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Der Punkt P liegt genau dann im Dreieck ABC
(inklusive Rand), wenn
[mm] \overrightarrow{AP}=u*\overrightarrow{AB}+v*\overrightarrow{AC}
[/mm]
mit [mm] 0\le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1 , [mm] 0\le [/mm] v [mm] \le [/mm] 1 und u+v [mm] \le [/mm] 1
Zerlege also den Vektor [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] in eine Linearkombination
von [m]\overrightarrow{AB}[/m] und [m]\overrightarrow{AC}[/m] und betrachte die resultierenden Faktoren !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Der Punkt P liegt genau dann im Dreieck ABC
> (inklusive Rand), wenn
>
> [mm]\overrightarrow{AP}=u*\overrightarrow{AB}+v*\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> mit [mm]0\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 1 , [mm]0\le[/mm] v [mm]\le[/mm] 1 und u+v [mm]\le[/mm] 1
>
> Zerlege also den Vektor [mm]\overrightarrow{AP}[/mm] in eine
> Linearkombination
> von [m]\overrightarrow{AB}[/m] und [m]\overrightarrow{AC}[/m] und
> betrachte die resultierenden Faktoren !
Wenn man [mm] $\alpha [/mm] := 1-u-v$, [mm] $\beta [/mm] := u$, [mm] $\gamma [/mm] := v$ setzt und die obige Beziehung so umformt, dass links nur der Ortsvektor [mm] $\vec{OP}$ [/mm] und rechts nur eine Linearkombination von [mm] $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ [/mm] und [mm] $\vec{OC}$ [/mm] steht, ist dies (bekanntlich) dasselbe, wie die Lösung die ich vorgeschlagen hatte. Der Vorteil einer "baryzentrischen" Betrachtungsweise ist, dass sie sich sogleich auf ein allgemeineres Problem anwenden lässt: das Problem, ob ein Punkt $P$ in der konvexen Hülle gewisser vorgegebener Punkte [mm] $A_{i=1,\ldots,n}$ [/mm] liegt.
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hallo Somebody,
schon klar !
ich dachte nur, für diese Aufgabe wäre es etwas
einfacher mit den 2 Unbekannten u und v anstatt
den drei [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ...
Gruß al-Chw.
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