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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Ladungsverteilung [mm] \rho=-\vec{p}\cdot \vec{\nabla}\delta(\vec{r}) [/mm] einen Dipol mit Dipolmoment [mm] \vec{p} [/mm] beschreibt. |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich denke mal es wird darauf hinauslaufen alle Multipolmomente [mm] q_{lm} [/mm] zu berechnen um dann zu zeigen, dass nur das Dipolmoment nicht verschwindet. Das Monopolmoment und Dipolmoment in kartesischen Koordinaten zu berechnen ist kein Problem. Die Multipolmomente mit l [mm] \geq [/mm] 2 sollen in Kugelkoordinaten berechnet werden. Diese müssen ja dann alle Null sein. Man hat also [mm] -\int d^3 \vec{r} \vec{p}\cdot \vec{\nabla}\delta(\vec{r})r^l Y_{lm}^*(\theta,\varphi). [/mm] Wie geht es nun weiter? Ich hab schon partielle Integration versucht, aber leider bringt mich das auch nicht weiter. Möglichweise reduzieren sich die Kugelflächenfunktionen auch auf Legendrepolynome, wegen der Rotatationssymmetrie? Aber leider bringt mich das auch nicht weiter. Ich wär sehr dankbar für einige Tipps.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 18.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Ladungsverteilung [mm]\rho=-\vec{p}\cdot \vec{\nabla}\delta(\vec{r})[/mm]
> einen Dipol mit Dipolmoment [mm]\vec{p}[/mm] beschreibt.
> Hallo,
> ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich denke mal es
> wird darauf hinauslaufen alle Multipolmomente [mm]q_{lm}[/mm] zu
> berechnen um dann zu zeigen, dass nur das Dipolmoment nicht
> verschwindet. Das Monopolmoment und Dipolmoment in
> kartesischen Koordinaten zu berechnen ist kein Problem. Die
> Multipolmomente mit l [mm]\geq[/mm] 2 sollen in Kugelkoordinaten
> berechnet werden. Diese müssen ja dann alle Null sein. Man
> hat also [mm]-\int d^3 \vec{r} \vec{p}\cdot \vec{\nabla}\delta(\vec{r})r^l Y_{lm}^\ast(\theta,\varphi).[/mm]
> Wie geht es nun weiter? Ich hab schon partielle Integration
> versucht, aber leider bringt mich das auch nicht weiter.
Nicht partielle Integration, aber die Definition der Ableitung der [mm] $\delta$-Distribution:
[/mm]
[mm] -\int d^3 \vec{r} \,\vec{p}\cdot \vec{\nabla}\delta(\vec{r})r^l Y_{lm}^\ast(\theta,\varphi) = \int d^3 \vec{r} \,\delta(\vec{r}) \vec{p}\cdot \vec{\nabla}(r^l Y_{lm}^\ast(\theta,\varphi))[/mm]
[mm] = \left.\vec{p}\cdot \vec{\nabla}(r^l Y_{lm}^\ast(\theta,\varphi))\right|_{\vec{r}=0} [/mm] .
Wenn du nun [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] in Kugelkoordinaten hinschreibst:
[mm] \vec{\nabla} = \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \vec{e}_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} [/mm] ,
dann siehst du, dass immer ein Faktor [mm] $r^{l-1}$ [/mm] stehenbleibt. Wenn du dies für [mm] $\,l>1$ [/mm] an der Stelle [mm] $\vec{r}=0$ [/mm] ausrechnest, kommt 0 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Do 19.05.2011 | | Autor: | hydendyden |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort. Das was du unter Definition der Ableitung der Deltadistribution verstehst, haben wir partielle Integration genannt... Wie dem auch sei, ich habe die Aufgabe jetzt dank deiner Hilfe gelöst.
Vielen Dank
Gruß
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