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| Aufgabe | | Bestimme alle ganzen Punkte ((x,y) Element ZxZ) auf der elliptischen Kurve [mm] 4y^2=x^3+1. [/mm] |
Hey ich habe ein großes Problem bei folgender Aufgabe:
Bestimme alle ganzen Punkte auf der elliptischen Kurve [mm] $4y^2=x^3+1$.
[/mm]
Ich habe diese Aufgabe in einem Einsteigerskript zu quadratischn Zahlringen gefunden, da ich leider vorher weniger Kontakt mit Zahlentheorie hatte, habe ich leider nicht viel hinbekommen bei dieser Aufgabe:
Meine einzige Idee ist das ich die Formel erstaml aufteile und ich Produkt zerlege:
[mm] $(1+2y)\cdot (-1+2y)=x^3$ [/mm]
leider kann ich damit auch nicht wirklich was weiter anfangen.. habt ihr einen Tipp für mich?!
MfG und frohe Ostern Hausholder.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Ganze-Punkte-auf-elliptischer-Kurve-bestimmen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 31.03.2013 | | Autor: | hippias |
> Bestimme alle ganzen Punkte ((x,y) Element ZxZ) auf der
> elliptischen Kurve [mm]4y^2=x^3+1.[/mm]
> Hey ich habe ein großes Problem bei folgender Aufgabe:
>
> Bestimme alle ganzen Punkte auf der elliptischen Kurve
> [mm]4y^2=x^3+1[/mm].
>
> Ich habe diese Aufgabe in einem Einsteigerskript zu
> quadratischn Zahlringen gefunden, da ich leider vorher
> weniger Kontakt mit Zahlentheorie hatte, habe ich leider
> nicht viel hinbekommen bei dieser Aufgabe:
>
> Meine einzige Idee ist das ich die Formel erstaml aufteile
> und ich Produkt zerlege:
>
> [mm](1+2y)\cdot (-1+2y)=x^3[/mm]
>
> leider kann ich damit auch nicht wirklich was weiter
> anfangen.. habt ihr einen Tipp für mich?!
Um diesen Gedanken weiterzuverfolgen: Wenn man zeigen kann, dass die beiden linken Faktoren teilerfremd sind, dann koennte man versuchen zu zeigen, dass sie selbst Kuben sein muessen. Damit kannst Du vielleicht weiterarbeiten.
>
> MfG und frohe Ostern Hausholder.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Ganze-Punkte-auf-elliptischer-Kurve-bestimmen
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Hallo, danke erstmal für die Tipps,
wenn ich richtig denke, kommt mein y aus Z und daher könnte ich die beiden faktoren links in Primfaktoren zerlegen um zu zeigen das sie teilerfremd sind, aber warum sollten sie das sein, denn in beiden kommt ja 2y vor?
Daher verstehe ich den Tipp leider nicht.
Eine andere idee wäre die beiden faktoren durcheinander zu teilen und zu zeigen das das ergebnis kein Element aus Z ist aber dann habe ich doch nur gezeigt das sie einander nicht teilen oder?
Wäre gut wenn ihr mir das noch etwas genauer erläutern könntet, danke!
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Hallo Hausholder,
bitte stell beantwortete Fragen nicht wieder auf unbeantwortet zurück, es sei denn Du schreibst Deinen Grund dafür mit dazu.
In diesem Fall hast Du ja einfach eine weitere Frage gestellt. Auch dafür musst Du die ursprüngliche ja nicht wieder "öffnen".
Aber zur Sache.
> Hallo, danke erstmal für die Tipps,
>
> wenn ich richtig denke, kommt mein y aus Z und daher
> könnte ich die beiden faktoren links in Primfaktoren
> zerlegen um zu zeigen das sie teilerfremd sind, aber warum
> sollten sie das sein, denn in beiden kommt ja 2y vor?
Das tut es ganz sicher nicht. Weder (2y-1) noch (2y-1) hat mit 2y irgendeinen Teiler gemeinsam.
> Daher verstehe ich den Tipp leider nicht.
>
> Eine andere idee wäre die beiden faktoren durcheinander zu
> teilen und zu zeigen das das ergebnis kein Element aus Z
> ist aber dann habe ich doch nur gezeigt das sie einander
> nicht teilen oder?
Wenn Du so vorgehst, ja.
Nennen wir a:=2y-1 und b:=2y+1.
Generell ist [mm] \ggT{(a,b)}=\ggT{(a,b-a)}.
[/mm]
Hier also [mm] \ggT{(2y-1,2y+1)}=\ggT{(2y-1,2)}=1.
[/mm]
> Wäre gut wenn ihr mir das noch etwas genauer erläutern
> könntet, danke!
Grüße
reverend
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Hallo, danke jetzt habe ich das soweit auch wieder verstanden, natürlich haben 2y+1 und 2y-1 keine gemeinsamen Teiler, da es ja zwei aufeinanderfolgende Ungerade Zahlen sind und diese sind ja Teilerfremd.
Doch wie mache ich weiter? Hippias schrieb ich könnte versuchen zu zeigen, dass es selbst Kuben sind, jedoch weiß ich leider nicht was Kuben sind außer Würfel, wobei ich nicht weiß was mir das hier weiterbringt oder selbst wenn ich das zeigen könnte wie es mir hilft die ganzen Punkte zu finden..
Ich habe die Funktion bereits mal mit einem Matheprogramm darstellen lassen und dabei die Lösung (-1,0) rausgefunden. Nur ein Beweis ist das janicht.
Danke für eure Geduld und eure stets schnelle Hilfe, frohe Ostern!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 01.04.2013 | | Autor: | hippias |
Mit Kubus meint man manchmal eine Kubikzahl. Versuche z.B. mit Hilfe der Teilerfremdheit und Primfaktorzerlegung zu schlussfolgern, dass die beiden Faktoren von der Gestalt [mm] $a^{3}$ [/mm] bzw. [mm] $b^{3}$ [/mm] sind. Diese beiden Kuben liegen nach Konstruktion sehr nahe beieinander...
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Leider habe ich das nicht hinbekommen zu zeigen, das sie selbst von der Form [mm] a^3 [/mm] bzw [mm] b^3 [/mm] sein müssen, aber dadurch bin ich auf eine andere Idee gekommen:
Da das produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist, muss [mm] x^3 [/mm] auch ungerade sein also auch schon x, dann muss ich jetzt nur zeigen das ich keine ungerade Kubikzahl in das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen zerlegen kann, oder?
Jedoch habe ich keine idee wie das widerum geht!
Tut mir leid das ich eure Idee nicht aufgreifen konnte...ich hoffe ihr könnt mir sagen ob ich mit meiner Idee noch weiter komme und wenn ja, wie!
MfG Hausholder
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Hallo nochmal,
es ist nicht so schwierig, wie Du denkst.
> Leider habe ich das nicht hinbekommen zu zeigen, das sie
> selbst von der Form [mm]a^3[/mm] bzw [mm]b^3[/mm] sein müssen,
Naja, sie sind teilerfremd. Da [mm] x^3 [/mm] kubisch ist, kann es nur eine Zerlegung der Form [mm] x^3=(\pm1)^{3}\produkt_{i}p_i^{3\alpha_i} [/mm] haben. Jeder Faktor von x, also jedes [mm] p_i, [/mm] muss nun auch Faktor genau eines der beiden Faktoren links sein, also entweder ein Faktor von $(2y-1)$ oder $(2y+1)$. Damit ist die kanonische Zerlegung jedes dieser Faktoren...
> aber dadurch
> bin ich auf eine andere Idee gekommen:
>
> Da das produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist, muss
> [mm]x^3[/mm] auch ungerade sein also auch schon x, dann muss ich
> jetzt nur zeigen das ich keine ungerade Kubikzahl in das
> Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen
> zerlegen kann, oder?
Hm. Das geht, aber es ist einfacher zu zeigen, dass $(2y-1)$ und $(2y+1)$ nur dann beide Kubikzahlen sein können, wenn $y=0$ ist.
Ich will mir Schreibarbeit ersparen und nenne daher (also nicht ganz wie vorher) [mm] $a^3:=2y-1$ [/mm] und [mm] $b^3=2y+1$.
[/mm]
Nun sind alle ganzzahligen Lösungen von [mm] b^3-a^3=2 [/mm] zu finden. Dazu helfen zwei Faktorisierungen. Die offensichtliche ist $2=1*2=(-1)*(-2)$.
Die andere ist [mm] b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2). [/mm] Man braucht sie häufiger, auch für höhere Potenzen (das kannst Du selbst ausprobieren  ).
Jetzt gilt es "nur noch" zu zeigen, dass es für b>a (was ja sicher gilt) nur eine Lösung gibt: [mm] $b=1,\;\;a=-1$, [/mm] und damit dann [mm] $y=0,\;\;x^3=x=-1$.
[/mm]
> Jedoch habe ich keine idee wie das widerum geht!
Schreibt man das nicht ![[]](/images/popup.gif) wiederum?
> Tut mir leid das ich eure Idee nicht aufgreifen
> konnte...ich hoffe ihr könnt mir sagen ob ich mit meiner
> Idee noch weiter komme und wenn ja, wie!
Ich sehe nicht, wie Du damit weiterkommst, da Du die Teilerfremdheit nicht einbeziehst. Die Aussage, die Du jetzt zeigen willst, ist m.E. aber auch richtig, nur schwieriger zu zeigen - es sei denn wie oben.
Grüße
reverend
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