Punkte in Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
die Aufgabe habe ich siehe Anhang berechnet, leider nur teilweise. Habe jetzt erstmal Fragen dazu. Ich habe ja ermittel das es eine gemeinsame Schnittstelle (Kante) gibt. Jetzt möchte ich eigendlich aus dieser gemeinsamen Kante eine Geradengleichung machen und dann kontrollieren ob besagte Punkte drauf liegen. Aber wie wird die Geradengleichung hierfür auf gestellt. Und zweitens, ist mein Rechnenweg hierfür überhaupt geeignet oder gibt es da etwas einfacheres das mir gerade nicht einfällt, oder sehe?
Danke für jede Hilfe
Beliar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 15.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich kann bis jetzt keinen Anhang sehen 
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Sa 15.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
jetzt sehe auch ich den Anhang 
Dein Rechenweg scheint mir etwas zu kompliziert?! Du sollst zeigen, dass die Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] sowohl in der Ebene [mm] E_1 [/mm] als auch in der Ebene [mm] E_2 [/mm] leigen.
Gehen wir das einmal für [mm] P_1 [/mm] durch:
[mm] P_1(3|0|5)
[/mm]
[mm] E_1:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{-1 \\ 1 \\ -4}+\mu*\vektor{2 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
Liegt [mm] P_1 [/mm] in der Ebene, gibt es ein [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] , für das gilt:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 5}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{-1 \\ 1 \\ -4}+\mu*\vektor{2 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{7}{9} [/mm] und [mm] \mu=\bruch{8}{9}
[/mm]
[mm] P_1 [/mm] liegt demnach in [mm] E_1.
[/mm]
Nun prüfen, ob [mm] P_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] liegt:
Das ist genau dann der Fall, wenn ein [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] existieren, die die Gleichung
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 5}=\vektor{-1 \\ 3 \\ 2}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}+\mu*\vektor{-4 \\ 3 \\ -3} [/mm] erfüllen.
[mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \mu=-1
[/mm]
Demnach liegt [mm] P_1 [/mm] in [mm] E_2.
[/mm]
Insgesamt liegt [mm] P_1 [/mm] sowohl in [mm] E_1 [/mm] als auch in [mm] E_2.
[/mm]
So kann man auch vorgehen, wenn man zeigen will, dass [mm] P_2 [/mm] auch in
den beiden Ebenen liegt.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Ja, dieser Weg erscheint mir sinnvoll, werde in anwenden. Möchte jetzt wissen, wenn ich den meinigen weiter machen wollte wie das denn geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
[mm] $\rightarrow$[/mm] meine Antwort
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
Slebstverständlich kannst du auch gleich direkt die Schnittgerade zwsichen den beiden Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] berechnen, indem du die beiden Ebenengleichungen gleichsetzt.
Allerdings musst Du hier für beide Ebenen auch unterschiedliche Paramter verwenden (also insgesamt 4!):
[mm] $$\underbrace{\vektor{2\\1\\1}+\lambda*\vektor{-1\\1\\-4}+\mu*\vektor{2\\-2\\-1}}_{= \ E_1} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\vektor{-1\\3\\2}+ \ \red{\kappa}*\vektor{-1\\0\\0}+ \ \red{\nu}*\vektor{-4\\3\\-3}}_{= \ E_2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Eine frage zu Lodders Ansatz darf man denn die Variablen der zweiten Ebenengleichung einfach so umbenennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Sa 15.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Namen von Variablen sind immer willkürlich, a,b,c oder [mm] \mu,\lambda [/mm] usw, heisst doch nur, dass man erstmal beliebige Zahlen dafür einsetzen kann und dann immer neue punkte der Ebene kriegt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Beliar |
und müsste ich dann weiter fortfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
Du meinst wohl mit Deiner Frage, wie man hier weiter fortfährt ...
Du hast ja durch das Gleichsetzen der Ebenengleichungen nun ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Eliminiere nun 3 Unbekannte, und Du erhältst daraus die gesuchte (Schnitt-)Geradengleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Hm, ich glaube ihr versteht nicht was ich meine, ich habe ja (bewiesen) das es eine gemeinsame Schnittkante gibt.Jetzt muss ich doch (denke ich) diese Schnittkante als Gerade darstellen können, und dann nachweisen können das auf ihr die Punkte liegen. Ich möchte wissen wie man das macht.
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> Hm, ich glaube ihr versteht nicht was ich meine, ich habe
> ja (bewiesen) das es eine gemeinsame Schnittkante
> gibt.Jetzt muss ich doch (denke ich) diese Schnittkante als
> Gerade darstellen können, und dann nachweisen können das
> auf ihr die Punkte liegen. Ich möchte wissen wie man das
> macht.
Hallo,
aus dem, was Du gerechnet hast, kann man die Schnittkante nicht erhalten. Ich vermute auch, daß Du im Glauben bist, etwas anderes getan zu haben als Du tatsächlich getan hast.
Du hast nachgeschaut, ob [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] einen ganz besonderen Punkt geminsam haben, nämlich einen Punkt, den man in beiden Ebenen mit denselben Parametern darstellen kann. Tatsächlich hast Du so einen gefunden - das ist nicht selbstverständlich, selbst wenn es eine Schnittgerade gibt.
Ich will Dir in der Ebene verdeutlichen, was Du getan hast.
Schau Dir die Geraden [mm] g_1: \vec{x}=\vektor{1 \\ 1}+\lambda\vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] g_2: \vec{x}=\lambda\vektor{1 \\ 0} [/mm] an.
Man sieht sofort, daß sie einen gemeinsamen Punkt haben.
Wenn man jetzt aber so rechnet wie Du, erhält man folgendes:
[mm] \vektor{1 \\ 1}+\lambda\vektor{0 \\ 1}=\lambda\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
<==>
[mm] \vektor{1 \\ 1}=\lambda\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
<==>
[mm] 1=\lambda
[/mm]
[mm] 1=-\lambda
[/mm]
und dieses Gleichungssystem hat keine Lösung.
Es hat keine Lösung, weil man den gemeinsamen Punkt nicht mit demselben Parameter in beiden Geraden darstellen kann.
Den gemeinsamen Punkt bekommt man mit [mm] \vektor{1 \\ 1}+(-1)*\vektor{0 \\ 1} [/mm] und mit [mm] 1*\vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
Den Schnittpunkt richtig ausrechnen würdest Du, wenn Du die Lösung der Gleichung
[mm] \vektor{1 \\ 1}+\lambda\vektor{0 \\ 1}=\mu\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
berechnen würdest.
Hiermit sind wir bei dem, was Dir Loddar gesagt hat.
Wenn Du die beiden Ebenen zum Schnitt bringst, brauchst Du unterschiedliche Parameter auf beiden Seiten, also bekommst Du drei Gleichungen mit 4 Variablen. Dieses Gleichungssystem mußt Du lösen, wenn Du die Schnittgerade haben willst.
Wenn wir Loddars Parameter nehmen, ist das Ziel, einen Zusammenhang zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] (oder zwischen [mm] \kappa [/mm] und [mm] \nu) [/mm] zu erhalten, etwa [mm] \lamda=4+3\mu.
[/mm]
Wenn man das dann in die Ebenengleichung einsetzt, hat man die Gleichung der Schnittgeraden.
Aber bevor ich jetzt weiter daherrede, fängst Du lieber an.
Falls Du nicht weiterkommst, können wir ja helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Also ich möchte jetzt mal zusammentragen was ich raus bekommen habe.
Beim Überprüfen ob die Punkte in den Ebenen liegen,
P1 in E1;P1 in E2; P2 in E1; und P2 in E2 die liegen alle in den Ebenen.
1. Was folgt hieraus über die Lage von E1 zu E2?
2. Können die Ebenen auch gleich sein?
E1 kann zu E2 nicht parallel sein, weil anhand der gegebenen Vektoren (kann sie nicht so umformen, dass sie einen gleichmäßigen Abstand Bekommen)die Differenzen zu unterschiedlich sind.
zu 2. Verhalt sich genauso.
Ist das so richtig erklärt?
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> Also ich möchte jetzt mal zusammentragen was ich raus
> bekommen habe.
> Beim Überprüfen ob die Punkte in den Ebenen liegen,
> P1 in E1;P1 in E2; P2 in E1; und P2 in E2 die liegen alle
> in den Ebenen.
Hallo,
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet,
Gehen wir davon aus, daß es so ist für die weiteren Betrachtungen.
> 1. Was folgt hieraus über die Lage von E1 zu E2?
> 2. Können die Ebenen auch gleich sein?
> E1 kann zu E2 nicht parallel sein, weil anhand der
> gegebenen Vektoren (kann sie nicht so umformen, dass sie
> einen gleichmäßigen Abstand Bekommen)die Differenzen zu
> unterschiedlich sind.
Ich kann überhaupt nicht verstehen, was Du meinst.
Anhand welcher Vektoren? Wer soll wovon einen gleichmäßigen Abstand haben?
Welche Differenzen?
> zu 2. Verhalt sich genauso.
> Ist das so richtig erklärt?
Ich glaube nicht.
zu 1) Überleg Dir das doch mal anschaulich:
wenn sie zwei gemeinsame Punkte haben, so schneiden sie sich in einer Gerade, oder sie sind gleich.
zu 2) Wenn sie gleich wären, müßten ihre Richtungsvektoren in einer Ebene liegen. Du müßtest also die Richtungsvektoren der zweiten Ebene als Linearkombination derer der ersten Ebene schreiben können.
Du solltest prüfen, ob das so ist.
Die Antwort auf diese Fragen springt übrigens sofort mit heraus, wenn Du gleich den Schnitt der Ebenen bestimmst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Dann habe ich noch eine Frage zur Lage der Ebenen.
Wenn ich sie mir mit Derive zeichnen lasse weiss ich ja wie sie aussehen, aber wie kann ich das anhand der vorgegebenen Gleichungen sehen, bei den Ebenen?
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> Dann habe ich noch eine Frage zur Lage der Ebenen.
> Wenn ich sie mir mit Derive zeichnen lasse weiss ich ja
> wie sie aussehen, aber wie kann ich das anhand der
> vorgegebenen Gleichungen sehen, bei den Ebenen?
Hallo,
wenn Du überprüfst, ob die Richtungsvektoren der beiden Ebenen in einer gemeinsamen Ebene liegen, können die beiden Ebenen parallel sein (also ev. gleich).
Nomalerweise allerdings würde man den Schnitt der Ebenen berechnen, wie in älteren Posts im Thread geschildert.
An der Lösung der Gleichung kann man dan nablesen, ob es keinen gemeinsamen Punkt gibt, ob es eine Schnittgerade gibt oder ob die Ebenen gar identisch sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Ich weiss ja das mir hier geholfen wird, aber könntest du mir das ausnahmsweise einmal vorrechnen.Im Moment erschalgen mich all diese Infos
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Hallo,
durch Gleichsetzen der Ebenen erhältst Du
$ [mm] \underbrace{\vektor{2\\1\\1}+\lambda\cdot{}\vektor{-1\\1\\-4}+\mu\cdot{}\vektor{2\\-2\\-1}}_{= \ E_1} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\vektor{-1\\3\\2}+ \ \red{\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ \ \red{\nu}\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3}}_{= \ E_2} [/mm] $.
Hieraus kannst Du Dir 3 Gleichungen mit den drei Variablen [mm] \lambda, \nu, \kappa, \mu [/mm] machen, welches zu lösen ist.
Schau erstmal, wie weit Du kommst, bei der Interpretation kann Dir ja jemand helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
1.) [mm] 2-\lambda+2\mu=-1-k-4v
[/mm]
[mm] 2.)1+\lambda-2\mu [/mm] =3+3v
[mm] 3.)1-4\lambda-\mu [/mm] =2-3v
dann umstellen
1.) [mm] -\lambda+2\mu+k+4v=-3
[/mm]
2.) [mm] \lambda-2\mu [/mm] -3v= 2
[mm] 3.)-4\lambda- \mu [/mm] +3v=1
so und jetzt habe ich das Problem, dass ich 1.)-2.)mache dann zwar [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] weg bekomme und k+v =-1 habe wenn ich dann k+v=-1 in 3.) einsetze habe [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] wieder und drehe mich im kreis
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> 1.) [mm]2-\lambda+2\mu=-1-k-4v[/mm]
> [mm]2.)1+\lambda-2\mu[/mm] =3+3v
> [mm]3.)1-4\lambda-\mu[/mm] =2-3v
> dann umstellen
> 1.) [mm]-\lambda+2\mu+k+4v=-3[/mm]
> 2.) [mm]\lambda-2\mu[/mm] -3v= 2
> [mm]3.)-4\lambda- \mu[/mm] +3v=1
> so und jetzt habe ich das Problem, dass ich 1.)-2.)mache
> dann zwar [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] weg bekomme und k+v =-1 habe
Das ist doch wunderbar!
Genau das willst Du - oder solltest Du wollen: eine Beziehung zwischen k und v oder zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu.
[/mm]
Du hast nun eine zwischen k und v, k+v=-1 <==> v=-1-k.
Wenn Du das nun in [mm] E_2 [/mm] einsetzt, purzelt die Gleichung der Schnittgeraden heraus:
[mm] g_s: \vec{x}= \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ {\nu}\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3}= \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ (-1-\kappa)\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\3\\2}-\vektor{-4\\3\\-3}+\kappa(\vektor{-1\\0\\0}-\vektor{-4\\3\\-3})= [/mm] ... Da hast Du dann die Schnittgerade in gewohnter Darstellung.
--
Mal angenommen, Du hast zwei Ebenen zum Schnitt gebracht, welche keinen gemeinsamen Punkt haben.
Das erkenntst Du daran, daß Du beim Auflösen des Gleichungssystems statt einer Beziehung zwischen k und v oder zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] etwas ganz Dummes bekommst, z.B. 0=5. Diese Gleichung kann man nicht lösen ==> kein Schnittpunkt.
Wenn Du statt einer Beziehung zwischen k und v oder zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] etwas bekommst, was immer gilt, z.B. 7=7, dann sind die Ebenen identisch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Muss es in E2 weil ich durch meine Variablenwahl dazu ?gebunden?bin
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> Muss es in E2 weil ich durch meine Variablenwahl dazu
> ?gebunden?bin
Du mußt in [mm] E_2 [/mm] einsetzen, weil [mm] \nu [/mm] und [mm] \kappa [/mm] die Parameter sind, die zu [mm] E_2 [/mm] gehören.
Hättest Du eine Gleichung erhalten, in der nur [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] vorkommen, hättest Du in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt.
(Es müßte dieselbe Gerade herauskommen, wenn auch möglicherweise mit einem anderen Stützvektor.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Kann alles ganz gut verfolgen, bis auf den letzten Teil der Gleichung, kannat du mir das erklären
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> Kann alles ganz gut verfolgen, bis auf den letzten Teil der
> Gleichung, kannat du mir das erklären
Es wäre einfacher zu verstehen (und weniger für mich zu schreiben) wenn Du den letzten Teil der Gleichung, den Du meinst hier aufschreiben würdest.
$ [mm] g_s: \vec{x}= \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ {\nu}\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3}
[/mm]
= [mm] \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ (-1-\kappa)\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3} [/mm] $
= [mm] \vektor{-1\\3\\2}-\vektor{-4\\3\\-3}+\kappa(\vektor{-1\\0\\0}-\vektor{-4\\3\\-3})= [/mm] ...
Von der vorletzten zur letzten Zeile kommt man, wenn man [mm] (-1-\kappa)\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3} [/mm] ausrechnet:
[mm] (-1-\kappa)\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3}=-\vektor{-4\\3\\-3} -\kappa \vektor{-4\\3\\-3}.
[/mm]
Also ist
[mm] \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}+ (-1-\kappa)\cdot{}\vektor{-4\\3\\-3}
[/mm]
= [mm] \vektor{-1\\3\\2}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}-\vektor{-4\\3\\-3} -\kappa \vektor{-4\\3\\-3},
[/mm]
und das habe ich nach "Vektor ohne [mm] \kappa" [/mm] und "Vektor mit [mm] \kappa" [/mm] sortiert:
[mm] =\vektor{-1\\3\\2}-\vektor{-4\\3\\-3}+ {\kappa}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0}-\kappa \vektor{-4\\3\\-3}
[/mm]
Nun noch hinten das [mm] \kappa [/mm] ausklammern:
[mm] =\vektor{-1\\3\\2}-\vektor{-4\\3\\-3}+ {\kappa}(\vektor{-1\\0\\0}- \vektor{-4\\3\\-3})
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
Habe ich dann für g:(3,0,5)+k(3,-3,-3) hoffe ich habe die Vorzeichen nicht verwechselt
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> Habe ich dann für g:(3,0,5)+k(3,-3,-3)
Genau!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Beliar |
tausend Dank an alle und vorallem an dich
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