Punktsymmetrie / beweis < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 10.10.2007 | | Autor: | lkmathe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo ihr lieben!!!
ich muss am dienstag ein referat halten in dem ich beweisen muss das alle funktionen 3.grades punktsymmetrisch sind. mir ist klar das der symmetriepunkt der wendepunkt ist doch weiß ich nicht wirklich wie ich das erklären soll.
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Hi lkmathe,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> ich muss am dienstag ein referat halten in dem ich
> beweisen muss das alle funktionen 3.grades punktsymmetrisch
> sind. mir ist klar das der symmetriepunkt der wendepunkt
> ist doch weiß ich nicht wirklich wie ich das erklären soll.
Du kennst doch sicher die allgemeinen Ansätze für die Punkt- und Achsensymmetrie bei ganzrationalen Funktionen, oder? Diese lauten:
Achsensymmetrie zur Y-Achse
-> liegt dann vor, wenn gilt: f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Ursprung
-> liegt dann vor, wenn gilt: f(x) = -f(-x)
Nun schaust du dir mal die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades an. Diese lautet doch:
f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d
Nun solltest du die Wendepunkte der allgemeinen Funktion ermitteln. Dies geht wie immer über die Differenzierung der f(x). Wie kannst du jetzt weitermachen...? Was willst du zeigen?
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 10.10.2007 | | Autor: | lkmathe |
Hey super danke für die schnelle reaktion!!
gut damit ich einen wendepunkt habe muss die 2.ableitung =0 sein und die 3. ableitung darf nicht null sein!!
f''(x)= 6ax+2b; x=(-2b)/(6a)
f'''(x)= 6a --> kann nie null werden!!
aber das reicht doch nicht als beweis das alle funktionen punktsymmetrisch zum wp sind!!!
meine lehrerin hat mir heute noch schnell versucht den ansatz zu erklären
f(x)-f(x+h)=f(x-h)-f(x)
hoffe das du dir das vorstellen kannst... soll ich einfach mal einsetzen und schauen ob das gleiche raus kommt??
würde das als beweis reichen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 10.10.2007 | | Autor: | at2 |
Sagen wir mal du hast dein Wendepunkt [mm] W(x_w,f(x_w))gefunden, [/mm] dann versetzt du das ganze Koordinatensystem in ein neues. Dabei ist das neue Koordinatensystem um [mm] x_w [/mm] in der XAchse und um [mm] f(x_w)in [/mm] der Y Achse versetzt.Dein neue Funktion lautet dann
F(X)= [mm] f(X+x_w) [/mm] + [mm] f(x_w)
[/mm]
nach dem du [mm] x_w [/mm] und [mm] f(x_w)in [/mm] die neue Funktion ein gesetzt, ausmultiplieziert und vereinfacht hast, bekommst du ein Funktion des dritten Grades in form:
F(X)= [mm] AX^3 [/mm] + [mm] BX^2 [/mm] + CX + D
jetzt ist es ganz leicht zubeweisen dass
F(X)= - F(-X)
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