Punktsymmetrie gebr. rat. Fkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Hallo,
krieg das nicht hin:
Folgendes:
Ich soll beweisen, dass gebrochen rat. Fkt, wenn Grad des Zählerpolynom =Grad des Nennerpolynom +1 ist, dass dann die Funktion (bis auch hebbare Definitionslücken) punktsymmetrisch zum schnittpunkt der Asymptoten ist.
Konkret ist die Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{x(x+1)}{x-1}
[/mm]
Die Asymptoten sind also: senkrecht bei 1 und linear bei X+2
Punktsymmetrie ist ja f(-x)=-F(x), das klappt aber nicht, da es ja nicht zum Ursprung symmmetrisch ist.
Hab' schon folgenden Thread gelesen:
https://matheraum.de/read?t=4717
und auch probiertdie Funktion zum verschieben, senkrecht ist das Problem nicht, da wird x dann zu (x-1) aber wie drehe ich das Ganze so, dass das der x-Achse entspricht?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (Neuling)
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Hallo.
Kein Wunder, daß das nicht klappt.
Die Funktion soll ja auch punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Asymptoten sein... wo ist der nun? Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden x=1 und y=x+2. Umformuliert bedeutet das natürlich x=1=y-2, also ist der Schnittpunkt (1 | 3). Wie muß nun die Bedingung für Punktsymmetrie lauten?
Dazu müssen wir uns nur folgendes überlegen: Wenn ich von der Stelle 1 um x Einheiten nach rechts und von der Gerade y=3 bis zum Funktionsgraphen hoch gehe, so muß ich, wenn dasselbe in umgekehrter Richtung mache, also von 1 aus um x nach links und f(1+x)-3 nach unten, wieder auf dem Funktionsgraphen landen, d.h. es muß gelten: 3-f(1-x)=f(1+x)-3.
Am besten machst Du dir dazu mal ne Skizze und zeichnest dir alle relevanten Längen ein, es ist nicht halb so schwierig, wie es klingt...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
3-f(1-x) ist der Teil, der hauptsächlich im 3. Quadranten verläuft, f(1+x)-3 dann wohl dementsprechend hauptsächlich im 1.
Wenn ich aber einsetze, habe ich
3- [mm] \bruch{(1-x)*(1-x+1)}{1-x-1}= \bruch{(1+x)*(1+x+1)}{1+x-1}-3
[/mm]
Das ist:
3+ [mm] \bruch{2-2x+x^2}{x}= \bruch{2+2x+x^2}{x}-3
[/mm]
Aber ich muss doch zeigen, dass auf beiden Seiten das selbe steht...
Ich glaub', momentan stehe ich mal richtig auf dem Schlauch...
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Hallo.
Da ist irgendwo ein Umformungsfehler, schätze ich.
Bei mir kommt auf beiden Seiten jeweils [mm] \frac{x^2+2}{x} [/mm] raus...
Aber wichtig ist, daß Du das Prinzip verstanden hast!
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Sorry, dass ich immer noch frage, aber das Prinzip stimmt so, wie ich es geschildert habe?? Auch, was welche Seite der Symmetrie ist?
Dann werde ich das nochmal durchrechnen undhoffentlich den Fehler finden..
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Hallo nochmal.
Vielleicht steh ich aufm Schlauch, aber was meinst Du mit "Seite der Symmetrie"?
Das ist doch gerade der positive Aspekt der Symmetrie, daß die Sache nicht allzuviele "Seiten" hat...
Die Gleichung ist im übrigen ja auch symmetrisch...
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Wenn du dir den graph mal grob zeichnest, dann kannst du den einen Teil aus der einen "Hälfte" rauslesen, den anderen Teil dann eben aus der anderen:
3-f(1-x) stellt den Teil dar, den man aus der negativen "Hälfte" erkennt, der andere aus der positiven, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Christian |
Wenn x positiv ist, ja! 
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
> Wenn x positiv ist, ja!
>
> Gruß,
> Christian
Ich kann dir leider nicht ganz folgen, wenn x positiv, dann... *mich-schäm*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Christian |
Es ist ganz einfach...
Du stellst dir mit f(x+1) vor, daß Du von 1 aus ein Stückchen nach rechts gehst, z.B. um x=2...
Wenn jetzt x aber negativ ist, gehst Du nicht wirklich nach rechts sondern nach links!
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Sa 02.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo HWT
Wenn du die Frage allgemein beantworten willst ist Christians Vorgehen sicher am besten.
Wenn du aber eine spezielle Funktion hast, find ich deinen 1. Vorschlag, nämlich die Funktion zu verschieben auch sehr gut, und vielleicht für dich übersichtlicher.
als erstes musst du natürlich den Schnittpunkt der Assymptoten berechnen. Hier ist das ja (1,3). Dann verschiebst du die Funktion so, dass das der Punkt Nullpunkt wird, also 1 nach links und 3 nach unten. Dann wird aus f(x)die verschobene Funktion g(x) mit $g(x)=f(x+1)-3$ also :
$g(x) [mm] =\bruch{(x+1)*(x+2)}{x} [/mm] -3$ am besten auf den Hauptnenner bringen und vereinfachen.
dann hast du [mm] $g(x)=\bruch{x^{2}+2}{x}$ [/mm] und hier sieht man sofort, dass es Punktsymetrisch zum Nullpunkt ist.
Die Methode funktioniert immer genausogut, und du siehst auch, dass du mit deinem ersten versuch schon auch auf dem richtigen Weg warst.
Der Unterschied der 2 Methoden ist zwar klein, da du aber Symmetrie zum Nullpunkt sicher schon oft gemacht hast, fällt dir die Methode vielleicht leichter.
Viel Erfolg
Gruss leduart
[EDIT:]Eingabefehler bei Formeln korrigiert[/EDIT]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Ich glaube, dass ich leduarts Vorschlag mit weniger Kenntnissen wirklich besser verstehe, werde beide Methoden morgen nochmal gründlich gegenüberstellen, dann verstehe ich vielleicht auch die Allgemeine besser, der unser Lehrer in der Regel immer möglichst allgemeingültige Lösungen bevorzugt.
Schonmal gorßen DANK an euch beide!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 03.07.2005 | | Autor: | HWT |
Ok, soweit habe ich es jetzt, alledings hab' ich gleich das nächste Problem gefunden:
Stichwort Definitionslücken:
Die eine (mit der Polstelle) haben wir auf x=0 gelegt, und die andere??
Die müsste ja dann bei x=-2 liegen, aber hier ist die Fkt definiert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Begrüßung und Abschied vermiss ich!
Aber in der ursprünglichen Fkt hast du doch auch nur bei x=1 ne "Definitionslücke", bzw besser einen Pöl. die andere Assymptote war doch für x==> unendlich. und jetzt läuft die Fkt gegen y=x vorher gegen y=x+3.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 03.07.2005 | | Autor: | HWT |
Hallo,
(bin auch in anderen nicht-Mathe-Foren aktiv, da nimmt man das nicht so eng, daher hab' ich's auch hoer nicht dauerhaft gesetzt)
Oh, merke, dass ich die eine hebbare Def-Lücke schon beim ersten Umformen "rausgeworfen"...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Den Umformungsfehler hab' ich gefunden, hab's jetzt auch raus, aber so auf Anhieb selbst lösen könnte ich so eine Aufgabe wohl noch nicht, muss da noch etwas Gefühl für entwickeln...:-(
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Hi, HWT,
> Ich soll beweisen, dass gebrochen rat. Fkt, wenn Grad des
> Zählerpolynom =Grad des Nennerpolynom +1 ist, dass dann die
> Funktion (bis auch hebbare Definitionslücken)
> punktsymmetrisch zum schnittpunkt der Asymptoten ist.
Also: Da müssen doch Nebenbedingungen gegeben sein, denn diese Aussage ist so mit Sicherheit FALSCH!!!
Man findet ohne großes Nachdenken viele Gegenbeispiele.
Z.B.: f(x) = [mm] \bruch{x^{3}}{(x+1)^{2}} [/mm]
Die Gradbetrachtung zeigt: Der Zählergrad ist (wie verlangt!) um 1 größer als der Nennergrad.
Die Asymptoten schneiden sich bei S(-1; -1).
Symmetriezentrum ist dieser Punkt jedoch nicht; der Funktionsgraph ist nämlich ÜBERHAUPT NICHT SYMMETRISCH!
Soll die Aussage vielleicht nur für folgenden Sonderfall gezeigt werden:
Zählergrad =2; Nennergrad =1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Sa 02.07.2005 | | Autor: | HWT |
Naja, unser Lehrer hat uns die eine Funktion gegeben, und als ich gemeint hab' die hätte ja Symmetrie durfte ich dann auch gleich mal rausfinden, in wie weit....
Das war von mir einfach mal ein Schuss ins blaue. Aber Für Grad 2 und Grad 1 gilt das auch ei anderen Funktionen? Naja, muss mal schauen, aber nicht mehr heute...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo HWT
Die Vermutung für quadratisch Fkt im Zähle und lineare im Nenner ist richtig. (nur dann hast du auch immer genau 2 Assymptoten! Versuchs doch mal allgemein zu beweisen. die lineare Fkt im Nenner kannst du gleich x nehmen, statt erst später zu verschieben. Dann ein allgemeines [mm] x^{2}+ax+b [/mm] im Zähler, dann ist es kaum schwerer, als was du schon gemacht hast!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 03.07.2005 | | Autor: | HWT |
Hallo leudart!
Werde ich später mal probieren!
Gruß HWT
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 03.07.2005 | | Autor: | HWT |
Hallo!
[mm] ((-x)^2-ax+b)/(-x)=-(x^2+ax+b)/(x) [/mm] kommt da bei mir nach dem Umformen raus, um sicher zu gehen, hab' ich auch Derrive mal damit gefüttert, sagt das selbe, es hängt also an einem Vorzeichen...
So manchmal sthet man da, hat ein Brett vor'm Kopf und kann nix dagegen machen...
Gruß HWT
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 04.07.2005 | | Autor: | HWT |
Hallo,
krieg's nicht gebacken, daher beweis ich morgen der Klasse halt mal nur diese Fkt und lass' sie dann mal ein wenig wurschteln, vielleicht sehen die es eher.
Gruß HWT
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Hi, HWT,
Geh' ruhig von einer ganz allgemeinen Funktion f(x) = [mm] \bruch{ax^{2} + dx + e}{x - k} [/mm] aus.
Nur eines soll gelten, nämlich dass die Stelle x=k ein POL und nicht etwa stetig behebbare Definitionslücke ist.
(Dazu muss man nur fordern, dass x=k in den Zähler eingesetzt, nicht =0 ergibt.)
Jede solche Funktion lässt sich durch Polynomdivision umformen.
Daher nehmen wir für den weiteren Beweis gleich den Term, der nach der Polynomdivision entsteht:
f(x) = ax + b + [mm] \bruch{c}{x-k} [/mm] (***)
Asymptoten sind also: x=k und y=ax + b.
Der Asymptotenschnittpunkt ergibt sich,
wenn man x=k in die schiefe As. einsetzt: y=ak+b.
Also: S(k | ak+b)
Nun musst Du nur noch zeigen, dass der Graph der Funktion (***) zu diesem Punkt symmetrisch ist.
Dazu bildest Du zunächst die "verschobene" Funktion
g(x) = f(x+k)-(ak+b)
und zeigst,
dass der Graph dieser Funktion g zum Nullpunkt O symmetrisch ist:
g(x) = a*(x+k) + b + [mm] \bruch{c}{(x+k)-k} [/mm] -(ak+b)
g(x) = ax + [mm] \bruch{c}{x}
[/mm]
Dass der Graph von g wirklich zu O symmetrisch ist, sieht man praktisch auf Anhieb!
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