Punktw./Gleichmäß. Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
auf dem Intervall [-1,1] und auf [mm] \IR [/mm] auf gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo,
wir sollen momentan die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge oben zeigen bzw. widerlegen, jedoch weiß ich nicht so recht, wie ich dort herangehen soll.
Wir hatten das Thema nur relativ kurz in der Vorlesung und hatten auch dort keine Beispiele behandelt, sodass ich nun nicht genau weiß, wie ich beginnen soll.
In allen weiteren Beispielen, die ich so im Internet gefunden habe, haben die Leute immer zunächst damit begonnen, die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge zu zeigen, da aus gleichmäßiger Konvergenz immer punktweise Konvergenz folgt (aber natürlich nicht umgekehrt).
Das Vorgehen war dort immer so, beispielsweise bei [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{n}, [/mm] dass man ein festes x des Definitionsbereiches wählt und n dann gegen Unendlich laufen lässt, also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{n} [/mm] = 0
Also ist die Grenzfunktion
f(x) = 0
Nun zu meinem Beispiel, dass mir sofort viel schwerer vorkommt, zumindest finde ich keinen rechten Ansatz:
Mir ist
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
bisher als Exponentialfunktion bekannt, sodass gilt, was ich schon irgendwann mal gezeigt habe:
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
So, nun angenommen ich wähle mir ein festes x [mm] \in [/mm] D, also x [mm] \in [/mm] [-1,1] und lasse n gegen Unendlich laufen, dann konvergiert meine Reihe ja jeweils gegen [mm] e^{x} [/mm] für mein gewähltes x (außer für x = 0), da ja gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
Ich habe hier doch für jedes eingesetzte x meinen Intervalls einen ganz anderen Funktionswert, wodurch ich nicht weiß, wie ich mich einer Grenzfunktion annähern soll.
Vielleicht weiß ja bis hierhin jemand Rat, sodass ich langsam an mein Ziel komme :)
Vielen Dank
Kappalino
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Kappalino |
Hat doch vielleicht jemand eine Idee, wie er mir helfen könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> auf dem Intervall [-1,1] und auf [mm]\IR[/mm] auf gleichmäßige
> Konvergenz.
> Hallo,
>
> wir sollen momentan die gleichmäßige Konvergenz der
> Funktionenfolge oben zeigen bzw. widerlegen, jedoch weiß
> ich nicht so recht, wie ich dort herangehen soll.
>
> Wir hatten das Thema nur relativ kurz in der Vorlesung und
> hatten auch dort keine Beispiele behandelt, sodass ich nun
> nicht genau weiß, wie ich beginnen soll.
>
> In allen weiteren Beispielen, die ich so im Internet
> gefunden habe, haben die Leute immer zunächst damit
> begonnen, die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge zu
> zeigen, da aus gleichmäßiger Konvergenz immer punktweise
> Konvergenz folgt (aber natürlich nicht umgekehrt).
>
> Das Vorgehen war dort immer so, beispielsweise bei [mm]f_{n}(x)[/mm]
> = [mm]\bruch{x}{n},[/mm] dass man ein festes x des
> Definitionsbereiches wählt und n dann gegen Unendlich
> laufen lässt, also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{n}[/mm] = 0
>
> Also ist die Grenzfunktion
>
> f(x) = 0
>
> Nun zu meinem Beispiel, dass mir sofort viel schwerer
> vorkommt, zumindest finde ich keinen rechten Ansatz:
>
> Mir ist
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> bisher als Exponentialfunktion bekannt, sodass gilt, was
> ich schon irgendwann mal gezeigt habe:
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm] = (1 +
> [mm]\bruch{x}{n})^{n}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
Die letzte beide "=" sind völlig falsch !
>
> So, nun angenommen ich wähle mir ein festes x [mm]\in[/mm] D, also
> x [mm]\in[/mm] [-1,1] und lasse n gegen Unendlich laufen, dann
> konvergiert meine Reihe ja jeweils gegen [mm]e^{x}[/mm] für mein
> gewähltes x (außer für x = 0), da ja gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
>
> Ich habe hier doch für jedes eingesetzte x meinen
> Intervalls einen ganz anderen Funktionswert, wodurch ich
> nicht weiß, wie ich mich einer Grenzfunktion annähern
> soll.
>
> Vielleicht weiß ja bis hierhin jemand Rat, sodass ich
> langsam an mein Ziel komme :)
Klar dürfte sein, dass die Folge [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen [mm] f(x):=e^x [/mm] konvergiert.
Nun sei x [mm] \in [/mm] [-1,1]. Dann:
[mm] $|f_n(x)-f(x)|= |\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}|= |\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}| \le \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{|x|^k}{k!} \le \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{k!}$.
[/mm]
Setzen wir [mm] a_n:=\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{k!}, [/mm] so haben wir:
(*) [mm] $|f_n(x)-f(x)| \le a_n$ [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [-1,1].
Nun ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge, also folgt aus (*) das Gewünschte.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> Kappalino
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort. So langsam komme ich dahinter, was genau gezeigt werden muss!
Ein Teil der Aufgabe war es ja, außerdem zu untersuchen, ob die Funktion gleichmäßig konvergent ist, falls der Defintionsbereich nicht nur [-1,1] sondern gesamt [mm] \IR [/mm] ist.
Hier kann ich ja zunächst genauso vorgehen und zeigen, dass die Funktionsfolge
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
punktweise konvergent gegen
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
für ein festes x [mm] \in [/mm] D.
Wenn ich nun prüfen möchte, ob das ganze unabhängig von x dann auch gleichmäßig stetig ist, erhalte ich:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}| [/mm] = [mm] |\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}|
[/mm]
Eine Abschätzung für x, wie du es eben gemacht hast, da dort ja x [mm] \in [/mm] [-1,1] galt, kann ich hier ja nicht mehr vornehmen, da mein x ja beliebig groß oder klein sein kann.
Beispielsweise kann ich für jedes n ein x so wählen, dass stets
[mm] x^{n} \ge [/mm] (n!)
ist, sodass ich mit
[mm] |\bruch{x^{n}}{n!}|
[/mm]
niemals eine Nullfolge erreiche.
(Beispielsweise: Falls n = 10 ist, so wähle ich z.B. x = 5, da dann gilt [mm] 5^{10} \ge [/mm] 10!)
Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich ein x so explizit angeben, dass eben nie gilt, dass
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
dass das ganze dann nicht gleichmäßig stetig ist. Wenn dies nicht gilt, klärt mich bitte auf.
Vielen lieben Dank
Kappalino
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mi 14.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
überlege dir, dass [mm] $\sup\limits_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)|=\infty$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gilt, sodass [mm] $(f_n)$ [/mm] nicht glm. auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gegen $f$ konvergiert.
(Auf jedem Kompaktem Intervall [nicht nur auf [-1,1]] ist die Konvergenz dagegen gleichmäßig, wie man mit dem Weierstrasschen M-Test überprüft.)
Liebe Grüße
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Hallo andyv,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe mir das nun folgendermaßen überlegt:
Wie zunächst herausgefunden konvergiert die Funktionenfolge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
gegen die Grenzfunktion
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
Um nun zu zeigen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist, wäre zu zeigen, dass gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und n > N gilt:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn ich das nun jedoch versuche, bekomme ich:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}| [/mm] = [mm] |\summe_{k=+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}| \to \infty
[/mm]
Dies gilt, da die reellen Zahlen, aus denen ich mir ein x wähle, welches hier nicht in einer kompakten Teilmenge liegt, unbeschränkt sind, und der Term somit beliebig groß werden kann.
Deshalb kann es kein festes N [mm] \in \IN [/mm] geben, das den Betrag dieser Reststücke für alle [mm] n\geq [/mm] N und alle x [mm] \in \IR [/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 macht.
Ist die Begründung, wieso, wie du schriebst,
[mm] \sup\limits_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)|=\infty
[/mm]
gilt, damit ebenfalls erfüllt, oder ist das noch zu ungenau bzw. zu unmathematisch?
Liebe Grüße
Kappalino
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Do 15.01.2015 | | Autor: | andyv |
> Hallo andyv,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich habe mir das nun folgendermaßen überlegt:
>
> Wie zunächst herausgefunden konvergiert die
> Funktionenfolge
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> gegen die Grenzfunktion
>
> f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
>
> Um nun zu zeigen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig
> konvergent ist, wäre zu zeigen, dass gilt:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in \IR[/mm] und n > N gilt:
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Wenn ich das nun jedoch versuche, bekomme ich:
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| = [mm]|\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm] -
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}|[/mm] =
> [mm]|\summe_{k=+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}| \to \infty[/mm]
Für $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
> Dies gilt, da die reellen Zahlen, aus denen ich mir ein x
> wähle, welches hier nicht in einer kompakten Teilmenge
> liegt, unbeschränkt sind, und der Term somit beliebig
> groß werden kann.
Das ist etwas komisch ausgedrückt.
>
> Deshalb kann es kein festes N [mm]\in \IN[/mm] geben, das den
> Betrag dieser Reststücke für alle [mm]n\geq[/mm] N und alle x
> [mm]\in \IR[/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> macht.
Ja.
> Ist die Begründung, wieso, wie du schriebst,
>
> [mm]\sup\limits_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)|=\infty[/mm]
>
> gilt, damit ebenfalls erfüllt, oder ist das noch zu
> ungenau bzw. zu unmathematisch?
Wenn [mm] $|f_n(x)-f(x)|\to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$, [/mm] dann gilt auch
$ [mm] \sup\limits_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)|=\infty [/mm] $.
Beachte, dass grob gesagt $glm. \ Konvergenz [mm] \gdw [/mm] Konvergenz \ bzgl. \ Supremumsnorm$ gilt.
> Liebe Grüße
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> Kappalino
Liebe Grüße
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