Punktw./gleichm. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktionenfolgen auf den angegebenen Bereichen auf punktweise und
gleichmäßige Konvergenz und bestimmen Sie ggf. die Grenzfunktion.
a) [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] [ [mm] x^{k}(1-x^{k}) [/mm] ] auf [0,1] und auf [0,q] für festes 0 < q < 1
b) [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \wurzel{\bruch{1}{n} + x^{2}} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] |
Hallo,
Ich komme hier irgendwie nicht weiter.
Bei der b käme doch bei punktweiser Konvergenz der Betrag |x| raus.
Doch wie schreibt man das richtig auf? Und wie geht man nun mit gleichm. Konv. vor?
Bei der a kriege ich irgendwie die punktweise Konvergenz nicht hin. Ich denke aber, dass es hier Sinn machen würde, es erst für [0,q] zu zeigen und dann den SATZ auszunutzen, dass bei einer stetigen Funktion man auch gleichm. Konv. auf [0,1] hat. Dann müsste man zeigen, dass es die glm. Konv. für [0,q] nicht gibt.
Nur sind das halt nur Gedankengänge. Wie geht man aber an sowas ran?
Ich bin sehr dankbar für Hilfe.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kann man das bei der a auch so machen???
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] [ [mm] x^{k}(1-x^{k}) [/mm] ]
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] [ [mm] x^{k} [/mm] ] - [mm] \summe_{k=1}^{n} [(x^{2k}) [/mm] ]
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] [ [mm] x^{k} [/mm] ] - [mm] (\summe_{k=1}^{n} [(x^{k}) ])^{2}
[/mm]
Und jetzt alles mit geometrischer Summenformel xD
Darf man das so machen? Aber das wäre doch viel zu umständlich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 06.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd das auch probieren, aber deine 2 te summe ist falsch, es ist die geom Reihe von [mm] x^2 [/mm] nicht das Quadrat der geom. Reihe.
also $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} (x^2)^k [/mm] $
ich nehm mal an, deine eckigen Klammern sollen keine Gaussklammern sein?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für die Antwort :)
Nein, die eckigen Klammern sollten jetzt nur andeuten, dass die Summe von allem genommen wird.
Ähm, ich krieg das irgendwie mit der Summenformel für [mm] x^{2} [/mm] nicht hin. :( Kann mir jemand zeigen, wie das geht.
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Hallo SolRakt,
> Danke für die Antwort :)
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> Nein, die eckigen Klammern sollten jetzt nur andeuten, dass
> die Summe von allem genommen wird.
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> Ähm, ich krieg das irgendwie mit der Summenformel für
> [mm]x^{2}[/mm] nicht hin. :( Kann mir jemand zeigen, wie das geht.
Na, es ist doch [mm]\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Hier mit [mm]q=x^2[/mm] also [mm]\sum\limits_{k=0}^n\left(x^2\right)^k=\frac{1-\left(x^2\right)^{n+1}}{1-x^2}[/mm]
Baue noch ein, dass deine Summen erst bei [mm]k=1[/mm] (und nicht bei [mm]k=0[/mm]) starten!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal wieder.
Ähm, hab das jetzt mal probiert.
[mm] \summe_{k=1}^{n} x^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} (x^{2})^{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1-(x^{2})^{n+1}}{1-x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1-x^{2n+2}}{1-x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{n+1} - x^{2} + x^{n+3}-1+x^{2n+2}+x-x^{2n+3}}{1-x-x^{2}+x^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{n+1} - x^{2} + x^{n+3}+x^{2n+2}+x-x^{2n+3}}{1-x-x^{2}+x^{3}}
[/mm]
Hmm..sieht irgendwie komisch aus xD Stimmt das denn? Eigentlich könnte man das doch dann so stehn lassen, oder?
Und wenn ich jetzt zeigen würde, dass diese Grenzfunktion stetig ist, dann handelt es sich auch um glm. Konvergenz (nach dem heute in der Übung bewiesenen Satz). Kann man hier nicht einfach sagen, dass jedes Polynome stetig ist und der Quotient stetiger Funktionen auch stetig ist und folglich auch die Grenzfunktion?
Könnte auch jemand mal meinen Ansatz bei der b) nachkontrollieren, wegen Betrag und so? Danke :)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 06.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deinen ausdruck hab ich nicht nachgerechnet, aber
der hauptnenner von 1-x und [mm] 1-x^2 [/mm] ist [mm] 1-x^2
[/mm]
(herr binomi grüßt)
Gruss leduart
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