Punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Mo 28.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, x\in \IR$ [/mm] und bilden Sie daraus die Folge der Funktionen [mm] $f_{n}(x)=\frac{1}{n}f(nx), x\in \IR [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1$
a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(f_{n})_{n\ge 1}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] punktweise gegen eine Funktion $g: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] konvergiert. Bestimmen Sie g.
b) Zeigen Sie, dass die Konvergenz in a) gleichmässig in [mm] $\IR$ [/mm] ist
c) Berechnen Sie $f'(0), f'_{n}(0)$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ und [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] f'_{n}(0)$. Vergleiche mit $g'(0)$.
d) Konvergiert die Folge [mm] $(f'_{n})_{n\ge 1}$, [/mm] und falls ja, gegen welche Funktion? Punktweise? Gleichmässig? |
Hallo,
[mm] $f_{n}(x)=\frac{1}{n}f(nx)=\frac{1}{n}\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}=\frac{x}{1+n^{2}x^{2}}$
[/mm]
a) also die Folge konvergiert gegen 0, punktweise Konvergenz wäre gegeben wenn gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] - f(x) = 0$
[mm] $(\limes_{n\rightarrow \infty} \frac{x}{1+n^{2}x^{2}}) [/mm] - [mm] \frac{x}{1+x^{2}} [/mm] = 0$
$0 - [mm] \frac{x}{1+x^{2}} \ne [/mm] 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$
[/mm]
also nicht punktmässig konvergent??
b) [mm] $(\limes sup_{n\rightarrow \infty} (|\frac{x}{1+n^{2}x^{2}}) [/mm] - [mm] \frac{x}{1+x^{2}}|) [/mm] = 0$
klappt ja wieder nicht??
c) [mm] $f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f'(0)=1$
[mm] $f'_{n}(x)=\frac{1-n^{2}x^{2}}{(n^{2}x^{2}+1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f'_{n}(0)=1$
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} f'_{n}(0)=\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{1-n^{2}0^{2}}{(n^{2}0^{2}+1)^{2}} [/mm] = 1$
das ist g'(0)=0 weil g(x)=0 ist... das ist dasselbe
d) [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} f'_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{1-n^{2}x^{2}}{(n^{2}x^{2}+1)^{2}} [/mm] = 0$
Wieso klappt das hier nicht mit der punkmässigen und gleichmässigen KOnvergenz??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 28.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachten Sie die Funktion [mm]f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, x\in \IR[/mm]
> und bilden Sie daraus die Folge der Funktionen
> [mm]f_{n}(x)=\frac{1}{n}f(nx), x\in \IR , n \ge 1[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm](f_{n})_{n\ge 1}[/mm] in [mm]\IR[/mm]
> punktweise gegen eine Funktion [mm]g: \IR \rightarrow \IR[/mm]
> konvergiert. Bestimmen Sie g.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Konvergenz in a) gleichmässig in
> [mm]\IR[/mm] ist
>
> c) Berechnen Sie [mm]f'(0), f'_{n}(0)[/mm] für alle [mm]n\ge 1[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f'_{n}(0)[/mm]. Vergleiche mit
> [mm]g'(0)[/mm].
>
> d) Konvergiert die Folge [mm](f'_{n})_{n\ge 1}[/mm], und falls ja,
> gegen welche Funktion? Punktweise? Gleichmässig?
> Hallo,
>
> [mm]f_{n}(x)=\frac{1}{n}f(nx)=\frac{1}{n}\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}=\frac{x}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
>
>
> a) also die Folge konvergiert gegen 0, punktweise
> Konvergenz wäre gegeben wenn gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)[/mm]
Du hast selbst geschrieben, dass die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] punktweise gegen 0 konvergiert, also $g(x)=0$. Wieso sollte also die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] gegen $f(x)$ konvergieren?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Mo 28.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
So stehts doch in der Definition von punktmässiger Konvergenz!!
http://de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz
??
> Viele Grüsse
Danke
Gruss
kushkush
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> So stehts doch in der Definition von punktmässiger
> Konvergenz!!
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz
Hallo,
bei Definitionen mußt Du natürlich nicht nur die Buchstaben anschauen, sondern auch deren Sinn.
In Deiner Aufgabe wird die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] mithilfe einer vorgegebenen Funktion f definiert,
in der Definition ist f diejenige Funktion, für welche [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x) [/mm] \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f \. [/mm]
Das ist doch ein Unterschied!
Du schriebst doch selbst
> a) also die Folge konvergiert gegen 0,
Vielleicht solltest Du Dir selbst mal genauer klarmachen, was Du damit meinst.
(Die Grenzfunktion ist hier die Funktion g mit g(x):=0.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 28.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, x\in \IR$ [/mm] und bilden Sie daraus die Folge der Funktionen [mm] $f_{n}(x)=\frac{1}{n}f(nx), x\in \IR [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1$
a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(f_{n})_{n\ge 1}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] punktweise gegen eine Funktion $g: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] konvergiert. Bestimmen Sie g.
b) Zeigen Sie, dass die Konvergenz in a) gleichmässig in [mm] $\IR$ [/mm] ist
c) Berechnen Sie $f'(0), f'_{n}(0)$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ und [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] f'_{n}(0)$. Vergleiche mit $g'(0)$.
d) Konvergiert die Folge [mm] $(f'_{n})_{n\ge 1}$, [/mm] und falls ja, gegen welche Funktion? Punktweise? Gleichmässig? |
Hallo,
a) $g(x)= 0= [mm] \frac{0}{x^{2}}=\limes_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}+x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\frac{x}{1+n^{2}x^{2}}=\limes_{n\rightarrow \infty} (f_{n})_{n\ge 1} [/mm] $
b) [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty}sup |f_{n}-g(x) [/mm] |=0 $
c) $ [mm] f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f'(0)=1 $
$ [mm] f'_{n}(x)=\frac{1-n^{2}x^{2}}{(n^{2}x^{2}+1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f'_{n}(0)=1 $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} f'_{n}(0)=\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{1-n^{2}0^{2}}{(n^{2}0^{2}+1)^{2}} [/mm] = 1 $
$g'(0)=0$
d) Sie konvergiert gegen h(x)=-1 und zwar gleichmässig weil [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}|f'_{n}-h(x)|=0$
[/mm]
Stimmt das jetzt?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 28.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf dein h(x)=-1 und wo hast du das gezeigt?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
$h(x)=0= [mm] \frac{0}{x^{4}}= \limes_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{4}}-\frac{n^{2}x^{2}}{n^{4}}}{\frac{n^{4}x^{4}}{n^{4}}+\frac{2n^{2}x^{2}}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}}=\limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] f'_{n}(x)$
Stimmt das?
> gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Do 31.03.2011 | | Autor: | leduart |
hallo kushkush
ja
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> ja
Danke
Gruss
kushkush
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