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| Aufgabe | | Das Dreieck ABC [A(2|6|0), B(2|-2|0), C(-5|-1|-2)] bildet die Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit der Höhe h=5. Wie groß ist a.) die Oberfläche O, b.) das Volumen V dieser Pyramide? |
Hallo.
Da ich am Dienstag eine Mathearbeit vor mir habe und in Thema Vektorenrechnung ziemlich verloren bin, brauche ich dringend eure Hilfe!
In meinem Formelheft steht für die Oberfläche: O=G+M.
Die Grundfläche ist doch [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) * | \vec AB \times \vec AC |[/mm] ?
Ich bekomme hier als Ergebnis 6 raus.
Wie ich den Mantel ausrechne weiß ich GAR NICHT! Bitte um einen Tipp ;)
Für das Volumen habe ich die Formel [mm] \left( \bruch{G*h}{3} \right) [/mm] benutzt. Ich habe das h aus der Angabe (5) benutzt, und somit [mm] \left( \bruch{6*5}{3} \right) [/mm] = 10 rausbekommen. In meinem Lösungsbuch steht allerdings ein anderes Ergebnis.
Ich danke euch im Vorraus für eure Tipps!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Das Dreieck ABC [A(2|6|0), B(2|-2|0), C(-5|-1|-2)] bildet
> die Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit
> der Höhe h=5. Wie groß ist a.) die Oberfläche O, b.) das
> Volumen V dieser Pyramide?
> Die Grundfläche ist doch [mm]\left( \bruch{1}{2} \right) * | \vec AB \times \vec AC |[/mm]
> ?
>
Das stimmt !
> Ich bekomme hier als Ergebnis 6 raus.
>
Das stimmt nicht.
Du hast das Skalarprodukt der (offenbar richtig berechneten) Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnet, du benötigst aber das Vektorprodukt.
> Wie ich den Mantel ausrechne weiß ich GAR NICHT! Bitte um
> einen Tipp ;)
Für die Mantelfläche musst du die Summe der drei Dreiecksflächen, die den Mantel bilden, berechnen. Das geht im Prinzip genau so wie mit der Grundfläche. Dazu benötigst du die Spitze S der Pyramide, die den Abstand h=5 zur Grundfläche hat und "über" der "Mitte" der Grundfläche liegt, damit die Pyramide gerade (Aufgabenstellung) wird. Da die Grundfläche aber kein gleichseitiges Dreieck ist, ist mir nicht ganz klar, was mit "gerade" bzw. "Mitte" gemeint ist.
>
> Für das Volumen habe ich die Formel [mm]\left( \bruch{G*h}{3} \right)[/mm]
> benutzt. Ich habe das h aus der Angabe (5) benutzt, und
> somit [mm]\left( \bruch{6*5}{3} \right)[/mm] = 10 rausbekommen. In
> meinem Lösungsbuch steht allerdings ein anderes Ergebnis.
>
Das wäre richtig, wenn die Grundfläche G=6 wäre.
Gruß Sax.
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Vielen Dank! Hat mir weitergeholfen:)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 20.01.2013 | | Autor: | Timme92 |
Hallo Leute,
aber die Grundfläche ist doch eine skalare größe, warum wird diese also mit dem vektorprodukt errechnet ? und zur berechnung der mantelfläche brauchst du ja die koordinaten von der spitze der pyramide- was hat sich da ergeben ?
Gruß Timme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Leute,
>
> aber die Grundfläche ist doch eine skalare größe, warum
> wird diese also mit dem vektorprodukt errechnet ?
Da steht noch ein Betrag um den Vektor, der das Ergebnis des Kreuzproduktes dartellt.
> und zur
> berechnung der mantelfläche brauchst du ja die koordinaten
> von der spitze der pyramide- was hat sich da ergeben ?
Das solltest du mal umsetzen, und dann deine Rechnung vorstellen.
>
> Gruß Timme
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 22.01.2013 | | Autor: | Timme92 |
okay ich hab gehofft der fragesteller würde auf diese diskussion nochmal eingehn, nun denn zeige ich mal wie ich das rechnen würde:
[A(2|6|0), B(2|-2|0), C(-5|-1|-2)] bilden die grundfläche
AB = [mm] \vektor{0 \\ -8 \\ 0} [/mm]
AC = [mm] \vektor{-7 \\ -7 \\ -2}
[/mm]
AC * AB = [mm] \vektor{16 \\ 0 \\ 56} [/mm]
der betrag davon ist ja dann ungefähr 58,24
Die fläche ist dann die hälfte davon 29,12
so und um die koordinaten von h zu bestimmen benötigt man ja den mittelpunkt der grundfläche. der mittelpunkt ist der schnittpunkt der drei geraden, die durch die eckpunkte und durch den mittelpunkt der gegenüberliegenden seiten verlaufen ( eine gerade veläuft zB duch C und durch den mittelpunkt von [mm] \overline{AB} [/mm] ). hat man den mittelpunkt der grundfläche verschiebt man diesen um den 5-fachen orthonomierten normalenvektor der flächefläche, da die höhe der pyramide 5 ist. man erhält h. die errechnung der mantelfläche ergibt sich dann von selbst. aber sind meine rechnungen und mein lösungsweg richtig?
Gruß Timme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 22.01.2013 | | Autor: | CJcom |
Bei der Grundfläche habe ich ein anderes Vorzeichen bei einer Komponente, da solltest du nochmal nachschauen.
> okay ich hab gehofft der fragesteller würde auf diese
> diskussion nochmal eingehn, nun denn zeige ich mal wie ich
> das rechnen würde:
> [A(2|6|0), B(2|-2|0), C(-5|-1|-2)] bilden die
> grundfläche
> AB = [mm]\vektor{0 \\ -8 \\ 0}[/mm]
> AC = [mm]\vektor{-7 \\ -7 \\ -2}[/mm]
> AC * AB = [mm]\vektor{16 \\ 0 \\ 56}[/mm]
Bei der Grundfläche habe ich ein anderes Vorzeichen bei einer Komponente, da solltest du nochmal nachschauen. Die dritte sollte den gleichen Schnittpunkt ergeben.
> der betrag davon ist ja dann ungefähr 58,24
> Die fläche ist dann die hälfte davon 29,12
> so und um die koordinaten von h zu bestimmen benötigt man
> ja den mittelpunkt der grundfläche. der mittelpunkt ist
> der schnittpunkt der drei geraden, die durch die eckpunkte
> und durch den mittelpunkt der gegenüberliegenden seiten
> verlaufen ( eine gerade veläuft zB duch C und durch den
> mittelpunkt von [mm]\overline{AB}[/mm] ).
Für die Berechnung des Mittelpunkts der Grundfläche reicht es, wenn du den Schnittpunkt zwei dieser Geraden ausrechnest.
> hat man den mittelpunkt
> der grundfläche verschiebt man diesen um den 5-fachen
> orthonomierten normalenvektor der flächefläche, da die
> höhe der pyramide 5 ist. man erhält h. die errechnung der
> mantelfläche ergibt sich dann von selbst. aber sind meine
> rechnungen und mein lösungsweg richtig?
>
> Gruß Timme
>
Sonst richtig.
Gruß
CJ
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Timme92 |
hallo,
du meintest ich hätte bei einem meiner vektoren ein vorzeichen falsch. könntest du sagen wo. ich meine ich kann mich irren, aber ich finds nicht ;)
schönen gruß
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Vektor, der beim Kreuzprodukt harauskommt, hat als erste Komponente -16.
LG Angela
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